Determine a derivada da função vetorial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada dessa função vetorial:
Estamos lidando com cálculo de derivadas de funções vetoriais. Para resolver isso, vamos derivar cada componente da função separadamente usando regras de derivação como a regra do produto e a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a componente na direção do , que é . Aqui usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .
  • , então .
  • , então (usando a regra da cadeia).
Aplicando a regra do produto:

Passo 3

Agora, vamos derivar a componente na direção do , que é . Aqui usamos a regra do quociente, que diz que a derivada de é .
  • , então .
  • , então .
Aplicando a regra do quociente:

Passo 4

Por fim, vamos derivar a componente na direção do , que é . A derivada da função arco-tangente é uma fórmula padrão:

Resposta

A derivada da função vetorial é:

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Calcule a integral.
Determine a derivada da função vetorial.
Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
(q)
Determine a derivada da função vetorial.