Calcule a integral ou mostre que ela é divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de
de 0 a 1. Isso envolve cálculo integral, especificamente integrais de funções racionais. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções do tipo
e verificar se a integral converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que estamos integrando:
. A gente reconhece que essa é uma função racional, onde o denominador é uma expressão linear. Sabemos que para integrar funções da forma
, usamos a regra da integral logarítmica.
Passo 3
A fórmula para integrar
é:
No nosso caso,
e
, então a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos avaliar a integral definida de 0 a 1 usando os limites:
Simplificando dentro dos logaritmos:
Aqui percebemos que
não está definido nos números reais, indicando que a função
tem uma descontinuidade no ponto onde
, ou seja, em
, que está dentro do intervalo de integração [0, 1].
Passo 5
Devido a essa descontinuidade, a integral pode ser dividida em duas partes:
Ao calcular esses limites, percebemos que uma das integrais tende ao infinito, o que significa que a integral total não converge.
Resposta
A integral
é divergente.