Calcule a integral ou mostre que ela é divergente. integral0^1 12-3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de de 0 a 1. Isso envolve cálculo integral, especificamente integrais de funções racionais. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções do tipo e verificar se a integral converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que estamos integrando: . A gente reconhece que essa é uma função racional, onde o denominador é uma expressão linear. Sabemos que para integrar funções da forma , usamos a regra da integral logarítmica.

Passo 3

A fórmula para integrar integral 1ax + b , dx = 1a ln|ax + b| + C é:
integral 12 - 3x , dx = 1-3 ln|2 - 3x| + C = -13 ln|2 - 3x| + C
No nosso caso, e , então a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos avaliar a integral definida de 0 a 1 usando os limites:
integral0^1 12 - 3x , dx = -13 [ ln|2 - 3(1)| - ln|2 - 3(0)| ]
Simplificando dentro dos logaritmos:
= -13 [ ln|2 - 3| - ln|2| ] = -13 [ ln| -1 | - ln|2| ]
Aqui percebemos que não está definido nos números reais, indicando que a função tem uma descontinuidade no ponto onde , ou seja, em , que está dentro do intervalo de integração [0, 1].

Passo 5

Devido a essa descontinuidade, a integral pode ser dividida em duas partes:
integral0^1 12 - 3x , dx = limc to 23^- integral0^c 12 - 3x , dx + limd to 23^+ integrald^1 12 - 3x , dx
Ao calcular esses limites, percebemos que uma das integrais tende ao infinito, o que significa que a integral total não converge.

Resposta

A integral é divergente.

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