Calcule a integral: integral0^1 x^e+e^x d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de no intervalo de 0 a 1. Isso está dentro do estudo do Cálculo Integral, onde vamos precisar conhecer as regras básicas de integração para funções do tipo e .

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes, já que a integral da soma é a soma das integrais. Ou seja:
integral0^1 ( x^e + e^x ) dx = integral0^1 x^e , dx + integral0^1 e^x , dx

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral: integral x^a , dx = x^a+1a+1 + C .
Aqui, usamos a regra de integração para potências, que diz que:
integral x^e , dx = x^e+1e+1 + C
onde .
Aplicando isso com :

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda integral: integral e^x , dx = e^x + C .
Sabemos que a integral de é simplesmente , então:

Passo 5

Agora, vamos avaliar cada uma dessas integrais no intervalo de 0 a 1.
Para a primeira integral:
[ x^e+1e+1 ]0^1 = 1^e+1e+1 - 0^e+1e+1 = 1e+1 - 0 = 1e+1
Para a segunda integral:
[ e^x ]0^1 = e^1 - e^0 = e - 1

Resposta

Somando os resultados das duas integrais, temos:
integral0^1 ( x^e + e^x ) dx = 1e+1 + e - 1

Exercícios relacionados