Calcule a integral. integral0^1(x^e+e^x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral definida de no intervalo de 0 a 1. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, mais especificamente sobre como integrar funções do tipo potência e exponenciais. Vamos precisar aplicar as regras básicas de integração para cada termo da função.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes, facilitando nossa vida:
integral0^1 (x^e + e^x) dx = integral0^1 x^e dx + integral0^1 e^x dx
Isso porque a integral da soma é igual à soma das integrais.

Passo 3

Vamos começar integrando integral x^n dx = x^n+1n+1 + C . A regra básica para integrar integral x^e dx = x^e+1e+1 é:
onde é a constante de integração. No nosso caso, , então:

Passo 4

Agora, vamos integrar integral e^x dx = e^x + C . A regra para integrar exponenciais com base é simples:
Então, já temos ambas as integrais calculadas individualmente.

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1 para cada parte:
[x^e+1e+1]0^1 + [e^x]0^1
Isso significa que substituímos por 1 e por 0 em cada expressão e subtraímos.

Passo 6

Calculando cada parte:
1^e+1e+1 - 0^e+1e+1 = 1e+1 - 0 = 1e+1
E para a segunda parte:
e^1 - e^0 = e - 1

Resposta

Somando as duas partes, a integral vale:
1e+1 + e - 1

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