Calcule a integral.
integral1^2[(1+t^2) imath-4 t^4 jmath-(t^2-1) k] d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral! A gente tem uma integral definida de até de uma função vetorial. Isso significa que vamos integrar cada componente da função separadamente. Para isso, precisamos saber como integrar funções polinomiais em cada componente do vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral componente por componente:
integral1^2 [(1 + t^2) imath - 4 t^4 jmath - (t^2 - 1) k] dt = ( integral1^2 (1 + t^2) dt ) imath - ( integral1^2 4 t^4 dt ) jmath - ( integral1^2 (t^2 - 1) dt ) k
Aqui, separamos a integral vetorial em integrais escalares para cada direção do vetor: , e .

Passo 3

Vamos começar integrando a componente integral1^2 (1 + t^2) dt :
integral (1 + t^2) dt = t + t^33
A gente sabe que a integral de [ 2 + 2^33 ] - [ 1 + 1^33 ] = ( 2 + 83 ) - (1 + 13 ) = 143 - 43 = 103 em relação a é , e a integral de é . Então:
Agora, avaliamos de 1 a 2:

Passo 4

Agora, a componente integral1^2 4 t^4 dt :
4 integral t^4 dt
A constante 4 pode sair da integral:
4 [ t^55 ]1^2 = 45 ( 2^5 - 1^5 ) = 45 (32 - 1) = 45 times 31 = 1245
A integral de é , então:

Passo 5

Por fim, a componente integral1^2 (t^2 - 1) dt :
integral t^2 dt - integral 1 dt = t^33 - t
A gente integra termo a termo:
[ 2^33 - 2 ] - [ 1^33 - 1 ] = ( 83 - 2 ) - ( 13 - 1 ) = ( 83 - 63 ) - ( 13 - 33 ) = 23 - ( -23 ) = 43
Avaliando de 1 a 2:

Resposta

Juntando todas as componentes que integramos, a integral original é:
103 imath - 1245 jmath - 43 k

Exercícios relacionados