Calcule a integral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral! A gente tem uma integral definida de até de uma função vetorial. Isso significa que vamos integrar cada componente da função separadamente. Para isso, precisamos saber como integrar funções polinomiais em cada componente do vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral componente por componente:
Aqui, separamos a integral vetorial em integrais escalares para cada direção do vetor: , e .

Passo 3

Vamos começar integrando a componente :
A gente sabe que a integral de em relação a é , e a integral de é . Então:
Agora, avaliamos de 1 a 2:

Passo 4

Agora, a componente :
A constante 4 pode sair da integral:
A integral de é , então:

Passo 5

Por fim, a componente :
A gente integra termo a termo:
Avaliando de 1 a 2:

Resposta

Juntando todas as componentes que integramos, a integral original é:

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