Determine a derivada de cada função vetorial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente precisa encontrar a derivada da função vetorial dada:
Para isso, vamos usar as regras de derivação para funções vetoriais, que envolvem derivar cada componente da função separadamente.

Passo 2

Vamos começar derivando a primeira componente: .
Aqui, temos uma função do tipo , onde e . Para derivar isso, usamos a regra do produto:
Primeiro, derivamos :
Depois, derivamos :
Aplicando a regra do produto:
Então, a derivada da primeira componente é:

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: .
Aqui, temos uma função racional , onde e . Para derivar isso, usamos a regra do quociente:
Primeiro, derivamos :
Depois, derivamos :
Aplicando a regra do quociente:
Então, a derivada da segunda componente é:

Passo 4

Por fim, vamos derivar a terceira componente: .
A função é a função arco-tangente de . Sabemos que a derivada da arco-tangente é:
Então, a derivada da terceira componente é:

Resposta

Juntando todas as derivadas das componentes, temos que a derivada da função vetorial é:

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