Determine a derivada de cada função vetorial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente precisa encontrar a derivada da função vetorial dada:
Para isso, vamos usar as regras de derivação para funções vetoriais, que envolvem derivar cada componente da função separadamente.
Passo 2
Vamos começar derivando a primeira componente:
.
Aqui, temos uma função do tipo
, onde
e
. Para derivar isso, usamos a regra do produto:
Primeiro, derivamos
:
Depois, derivamos
:
Aplicando a regra do produto:
Então, a derivada da primeira componente é:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda componente:
.
Aqui, temos uma função racional
, onde
e
. Para derivar isso, usamos a regra do quociente:
Primeiro, derivamos
:
Depois, derivamos
:
Aplicando a regra do quociente:
Então, a derivada da segunda componente é:
Passo 4
Por fim, vamos derivar a terceira componente:
.
A função
é a função arco-tangente de
. Sabemos que a derivada da arco-tangente é:
Então, a derivada da terceira componente é:
Resposta
Juntando todas as derivadas das componentes, temos que a derivada da função vetorial
é: