Determine o vetor tangente unitário no ponto dado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o vetor tangente unitário no ponto onde para a curva dada por . Isso envolve cálculo de derivadas e normalização de vetores, que são conceitos de cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função em relação a , que nos dará o vetor tangente . A derivada de uma função vetorial é obtida derivando cada componente individualmente.

Passo 3

Vamos derivar cada componente de :
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :

Passo 4

Agora, juntamos essas derivadas para obter o vetor tangente :

Passo 5

Em seguida, precisamos calcular substituindo na expressão acima:

Passo 6

Agora, para encontrar o vetor tangente unitário , precisamos normalizar . Isso significa dividir o vetor pelo seu comprimento (magnitude).
Primeiro, calculamos a magnitude de :

Passo 7

Finalmente, dividimos cada componente de pela sua magnitude para obter :

Resposta

O vetor tangente unitário no ponto é:

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Calcule a integral.
Determine a derivada de cada função vetorial.
Determine o vetor tangente unitário no ponto dado.
Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva com as equações paramétricas, dadas no ponto especificado.