Mostre, diretamente que, se
e
forem Sequências de Cauchy, então,
é uma Sequência de Cauchy.
Passo 1
Vamos entender o que a questão pede. Estamos trabalhando com Sequências de Cauchy, um conceito da Análise Matemática. Precisamos mostrar que, se duas sequências
e
são Sequências de Cauchy, então a sequência formada pela soma dos termos correspondentes,
, também é uma Sequência de Cauchy. Para isso, vamos usar a definição de Sequência de Cauchy e propriedades das desigualdades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma Sequência de Cauchy. Uma sequência
é de Cauchy se, para todo
, existe um número natural
tal que, para todos
, a diferença
. Isso basicamente significa que, a partir de certo ponto, os termos da sequência ficam tão próximos entre si quanto quisermos.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição às sequências
e
. Como ambas são Sequências de Cauchy, para qualquer
, existem números naturais
e
tais que:
Passo 4
Agora, vamos escolher
. Assim, para todo
, teremos tanto
quanto
. Portanto, as duas desigualdades acima valem para esses índices.
Passo 5
Vamos considerar a sequência
. Queremos mostrar que para todo
, a diferença
é menor que
. Vamos calcular:
Aqui usamos a Desigualdade Triangular, que nos permite somar as diferenças.
Passo 6
Sabemos que
e
. Então:
Resposta
Assim, mostramos que para todo
, existe um
tal que para todos
, a desigualdade
se mantém. Portanto, a sequência
é uma Sequência de Cauchy.
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Resolva os seguintes limites justificando cada passagem:
.
Resolva os seguintes limites justificando cada passagem:
;
Dê exemplos de sequências
e
, de tal modo que:
.
Calcule a integral.