Mostre, diretamente que, se e forem Sequências de Cauchy, então, é uma Sequência de Cauchy.

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede. Estamos trabalhando com Sequências de Cauchy, um conceito da Análise Matemática. Precisamos mostrar que, se duas sequências e são Sequências de Cauchy, então a sequência formada pela soma dos termos correspondentes, , também é uma Sequência de Cauchy. Para isso, vamos usar a definição de Sequência de Cauchy e propriedades das desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma Sequência de Cauchy. Uma sequência é de Cauchy se, para todo , existe um número natural tal que, para todos , a diferença . Isso basicamente significa que, a partir de certo ponto, os termos da sequência ficam tão próximos entre si quanto quisermos.

Passo 3

Vamos aplicar essa definição às sequências e . Como ambas são Sequências de Cauchy, para qualquer , existem números naturais e tais que:

Passo 4

Agora, vamos escolher . Assim, para todo , teremos tanto quanto . Portanto, as duas desigualdades acima valem para esses índices.

Passo 5

Vamos considerar a sequência . Queremos mostrar que para todo , a diferença é menor que . Vamos calcular:
Aqui usamos a Desigualdade Triangular, que nos permite somar as diferenças.

Passo 6

Sabemos que e . Então:

Resposta

Assim, mostramos que para todo , existe um tal que para todos , a desigualdade se mantém. Portanto, a sequência é uma Sequência de Cauchy.

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Resolva os seguintes limites justificando cada passagem:
.
Resolva os seguintes limites justificando cada passagem:
;
Dê exemplos de sequências e , de tal modo que: .
Calcule a integral.