Usando substituição, calcule:
integral1 / 4^2 ln xx d x

Passo 1

Então, temos um exercício de cálculo integral que pede para a gente calcular a integral definida de de até . Vamos usar a técnica de substituição, que é uma ferramenta importante no cálculo para simplificar integrais. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir por uma variável mais simples.

Passo 2

Vamos começar escolhendo uma substituição que facilite a integral. Observando a função u = ln x , percebemos que a derivada de dudx = 1x Rightarrow du = 1x dx é , que já está presente na integral. Então, vamos definir:
Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a :
Isso significa que pode ser substituído por . Assim, nossa integral fica mais simples.

Passo 3

Substituindo integral ln xx dx = integral u , du e integral u , du = u^22 + C , a integral original se transforma em:
Agora, a integral de é mais fácil de resolver. A integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração. Mas como estamos lidando com uma integral definida, vamos aplicar os limites depois.

Passo 4

Agora, precisamos voltar para as variáveis originais e aplicar os limites de integração. Como fizemos a substituição u = ln ( 14 ) = ln 1 - ln 4 = 0 - ln 4 = -ln 4 , vamos calcular u = ln 2 nos limites u^22 |u = -ln 4^u = ln 2 = (ln 2)^22 - (-ln 4)^22 e :
Para :
Para :
Agora, substituindo esses valores na expressão que obtemos após a integração:
Lembrando que .

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
(ln 2)^22 - (ln 4)^22

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