Calcule o volume gerado pelà rotação da região delimitada pelas curvas
e
em torno do eixo
.
(2 pontos)
(2 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume gerado quando a região delimitada pelas curvas
,
e
é girada em torno do eixo
. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente no estudo de volumes de sólidos de revolução. Para resolver, vamos usar o método dos discos ou das cascas cilíndricas. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são os limites dessa região. A curva
começa em
porque
, e vai até
. A linha
é o eixo
, então estamos olhando para a área entre
e
debaixo da curva
.
Passo 3
Como vamos girar em torno do eixo
, o método das cascas cilíndricas é mais conveniente. Esse método envolve cortar a região em pequenas fatias verticais (cascas) e calcular o volume de cada casca individualmente.
Passo 4
A fórmula para o volume usando o método das cascas cilíndricas é:
Aqui,
é a distância da casca ao eixo de rotação,
é a altura da casca, e
e
são os limites de integração.
Passo 5
No nosso caso,
,
e
. Então, substituindo na fórmula:
Passo 6
Agora, precisamos calcular essa integral. Vamos usar o método de integração por partes, que é dado por:
Vamos escolher
e
. Então, calculamos
e
:
Passo 7
Aplicando a integração por partes:
Simplificando a segunda integral:
Então, temos:
Passo 8
Voltando à nossa expressão para o volume:
Vamos calcular isso nos limites de 1 a 4:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Passo 9
Multiplicando tudo por
:
Resposta
O volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas
,
e
em torno do eixo
é:
Exercícios relacionados
Calcule a integral
(2 pontos)
(2 pontos)
Determine a solução geral das equações de diferença lineares de ordem 2 :
A densidade linear de uma barra de 2 metros de comprimento é
, medida em quilogramas por metro, em que
é medido em metros a partir de uma extremidade da barra.
a) Encontre a massa total da barra.
(1 ponto)
a) Encontre a massa total da barra.
(1 ponto)