Calcule o volume gerado pelà rotação da região delimitada pelas curvas e em torno do eixo .
(2 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume gerado quando a região delimitada pelas curvas , e é girada em torno do eixo . Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente no estudo de volumes de sólidos de revolução. Para resolver, vamos usar o método dos discos ou das cascas cilíndricas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são os limites dessa região. A curva começa em porque , e vai até . A linha é o eixo , então estamos olhando para a área entre e debaixo da curva .

Passo 3

Como vamos girar em torno do eixo , o método das cascas cilíndricas é mais conveniente. Esse método envolve cortar a região em pequenas fatias verticais (cascas) e calcular o volume de cada casca individualmente.

Passo 4

A fórmula para o volume usando o método das cascas cilíndricas é:
Aqui, é a distância da casca ao eixo de rotação, é a altura da casca, e e são os limites de integração.

Passo 5

No nosso caso, , e . Então, substituindo na fórmula:

Passo 6

Agora, precisamos calcular essa integral. Vamos usar o método de integração por partes, que é dado por:
Vamos escolher e . Então, calculamos e :

Passo 7

Aplicando a integração por partes:
Simplificando a segunda integral:
Então, temos:

Passo 8

Voltando à nossa expressão para o volume:
Vamos calcular isso nos limites de 1 a 4:
Para :
Para :
Subtraindo:

Passo 9

Multiplicando tudo por :

Resposta

O volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas , e em torno do eixo é:
ú

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(2 pontos)
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(1 ponto)