Calcule a integral. integral1 / 2^1 / raiz2 4raiz1-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente calcule a integral definida:
integral12^1raiz2 4raiz1 - x^2 , dx
Isso faz parte da matéria de cálculo integral, onde a gente aprende a encontrar áreas sob curvas usando antiderivadas. Para resolver, vamos precisar saber a antiderivada de , que está ligada à função arco seno.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a antiderivada de integral 1raiz1 - x^2 , dx = arcsin(x) + C . Sabemos que:
Isso porque a derivada de é exatamente .

Passo 3

No nosso caso, temos um 4 na frente da fração. Então, a antiderivada vai ser:
integral 4raiz1 - x^2 , dx = 4 arcsin(x) + C

Passo 4

Agora, vamos aplicar os limites de integração, de 4 arcsin(1raiz2) - 4 arcsin(12) até arcsin(1raiz2) = pi4 :
arcsin(12) = pi6
Sabemos que:

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão:
4 ( pi4 ) - 4 ( pi6 ) = pi - 2pi3 = pi3

Resposta

pi3

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