Encontre a derivada da função. F(x)=integralx^x^2 e^t^2 d t

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Precisamos encontrar a derivada da função . Essa questão está relacionada ao cálculo de derivadas envolvendo integrais com limites que são funções de . Para resolver isso, vamos utilizar a regra de Leibniz para derivar integrais com limites variáveis.

Passo 2

A regra de Leibniz nos diz que, se temos uma função definida por uma integral com limites que dependem de F'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x) , ou seja, , então a derivada de em relação a é dada por:
Isso significa que precisamos avaliar a função dentro da integral nos limites superior e inferior e multiplicar pelas derivadas desses limites.

Passo 3

Aplicando a regra de Leibniz à nossa função , identificamos:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas dos limites:
a'(x) = ddxx = 1
b'(x) = ddxx^2 = 2x

Passo 5

Em seguida, substituímos na fórmula de Leibniz:
F'(x) = e^(x^2)^2 cdot 2x - e^x^2 cdot 1
Simplificando a expressão:
F'(x) = 2x cdot e^x^4 - e^x^2

Resposta

A derivada da função é .

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