Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função. y=integral0^x^4 cos ^2 theta d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função usando a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo. Isso significa que vamos aplicar algumas regras de derivação envolvendo integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo. Ela nos diz que se temos uma função definida como uma integral com um limite superior que depende de , então a derivada dessa função em relação a é simplesmente a função dentro da integral avaliada nesse limite, multiplicada pela derivada desse limite.

Passo 3

No nosso caso, a função dentro da integral é dydx = cos^2(x^4) times ddx(x^4) e o limite superior é . Então, seguindo o teorema, a derivada de em relação a será:

Passo 4

Agora, vamos derivar ddx(x^4) = 4x^3 em relação a . A derivada de é . Então:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da derivada, temos:
dydx = cos^2(x^4) times 4x^3

Resposta

A derivada da função é:
dydx = 4x^3 cos^2(x^4)

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