O gráfico de
consiste de duas retas e um semicírculo. Use-o para calcular a integral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de
de 2 a 4, ou seja:
Conteúdo da matéria: Aqui estamos trabalhando com integrais definidas, que representam a área sob o gráfico de uma função entre dois pontos. No caso, a função
é composta por duas retas e um semicírculo. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a área de formas geométricas básicas e somá-las adequadamente.
Passo 2
Primeiro, precisamos dividir o intervalo de integração
em partes onde a função
é uma reta ou um semicírculo. Suponhamos que:
- De
a , é uma reta. - De
a , forma um semicírculo.
Essa divisão facilita o cálculo da integral, pois podemos calcular a área de cada parte separadamente.
Passo 3
Vamos calcular a área sob cada reta. A área sob uma reta entre dois pontos é basicamente a área de um trapézio. A fórmula da área do trapézio é:
Onde:
-
e são as bases (valores de nos pontos finais). -
é a altura (intervalo de ).
Por exemplo, para a reta de
a
:
- Suponha que
e . - Então, a área seria:
Passo 4
Agora, vamos calcular a área sob o semicírculo de
a
. A área de um círculo completo é
, então a área de um semicírculo é metade disso:
Precisamos determinar o raio
. Suponha que o semicírculo tenha raio
(já que vai de
a
), então:
Passo 5
Finalmente, somamos as áreas calculadas para obter a integral total:
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
(Valor 1,5) Diga se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta. Toda função decrescente tem segunda derivada negativa, isto é, concavidade para baixo.
Calcule
Calcule a integral