O gráfico de g(x) consiste de duas retas e um semicírculo. Use-o para calcular a integral.
integral2^4 g(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de integral2^4 g(x) , dx de 2 a 4, ou seja:
Conteúdo da matéria: Aqui estamos trabalhando com integrais definidas, que representam a área sob o gráfico de uma função entre dois pontos. No caso, a função é composta por duas retas e um semicírculo. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a área de formas geométricas básicas e somá-las adequadamente.

Passo 2

Primeiro, precisamos dividir o intervalo de integração em partes onde a função é uma reta ou um semicírculo. Suponhamos que:
  • De a , é uma reta.
  • De a , forma um semicírculo.
Essa divisão facilita o cálculo da integral, pois podemos calcular a área de cada parte separadamente.

Passo 3

Vamos calcular a área sob cada reta. A área sob uma reta entre dois pontos é basicamente a área de um trapézio. A fórmula da área do trapézio é:
A = (b1 + b2) times h2
Onde:
  • Areta = (y1 + y2) times 12 = y1 + y22 e são as bases (valores de nos pontos finais).
  • é a altura (intervalo de ).
Por exemplo, para a reta de a :
  • Suponha que e .
  • Então, a área seria:

Passo 4

Agora, vamos calcular a área sob o semicírculo de Asemicírculo = pi r^22 a Asemicírculo = pi times 1^22 = pi2 . A área de um círculo completo é , então a área de um semicírculo é metade disso:
í
Precisamos determinar o raio . Suponha que o semicírculo tenha raio (já que vai de a ), então:
í

Passo 5

Finalmente, somamos as áreas calculadas para obter a integral total:
integral2^4 g(x) , dx = Areta + Asemicírculo = y1 + y22 + pi2 í

Resposta

A integral é igual a .

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