Calcule a integral: integral1^e(6^t-2^t) d t

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão nos pede. Precisamos calcular a integral definida de no intervalo de 1 a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração de funções exponenciais com bases diferentes de .

Passo 2

Primeiro, é importante lembrar como integrar funções exponenciais. A integral de uma função da forma integral a^t , dt = a^tln a + C (onde é uma constante positiva diferente de 1) é dada por:
Aqui, é a constante de integração, mas como estamos lidando com uma integral definida, vamos aplicar os limites posteriormente.

Passo 3

Vamos separar a integral original em duas partes para facilitar a resolução:
integral1^e (6^t - 2^t) , dt = integral1^e 6^t , dt - integral1^e 2^t , dt

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integral de integral1^e 6^t , dt = [ 6^tln 6 ]1^e = 6^e - 6^1ln 6 em cada termo:
integral1^e 2^t , dt = [ 2^tln 2 ]1^e = 2^e - 2^1ln 2

Resposta

Assim, o valor da integral é:
6^e - 6ln 6 - 2^e - 2ln 2

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