Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área:

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas equações: e . Precisamos desenhar os gráficos dessas funções para ver onde elas se cruzam e formar uma região delimitada. Depois, vamos calcular a área dessa região. Para isso, vamos precisar saber como desenhar gráficos de funções polinomiais e entender como encontrar pontos de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram, ou seja, os valores de que satisfazem . Isso nos dará os limites para calcular a área.

Passo 3

Resolvendo :
Assim, ou .

Passo 4

Agora que sabemos que as curvas se cruzam em e , vamos desenhar os gráficos dessas funções entre esses valores para visualizar a região delimitada.

Passo 5

Observando as funções:
  • Para , está abaixo de .
  • Entre e , está abaixo de .
  • Para , está acima de .
Como estamos interessados na região entre e , a curva superior é e a inferior é .

Passo 6

Para calcular a área entre duas curvas, usamos a fórmula:
Á
Nesse caso, e , com e .

Passo 7

Aplicando a fórmula:
Á
Vamos calcular essa integral para encontrar a área.

Passo 8

Calculando a integral:
Agora, vamos avaliar de a .

Passo 9

Avaliação nos limites:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas e é unidades de área.

Exercícios relacionados

Calcule a integral:
Determine se o conjunto dado é ou não: (i.) aberto, (ii.)conexo e (iii.)simplesmente conexo.
a.
b.
c. ou
d.
Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área:
Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área: