Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas equações:
e
. Precisamos desenhar os gráficos dessas funções para ver onde elas se cruzam e formar uma região delimitada. Depois, vamos calcular a área dessa região. Para isso, vamos precisar saber como desenhar gráficos de funções polinomiais e entender como encontrar pontos de interseção.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram, ou seja, os valores de
que satisfazem
. Isso nos dará os limites para calcular a área.
Passo 3
Resolvendo
:
Assim,
ou
.
Passo 4
Agora que sabemos que as curvas se cruzam em
e
, vamos desenhar os gráficos dessas funções entre esses valores para visualizar a região delimitada.
Passo 5
Observando as funções:
- Para
, está abaixo de . - Entre
e , está abaixo de . - Para
, está acima de .
Como estamos interessados na região entre
e
, a curva superior é
e a inferior é
.
Passo 6
Para calcular a área entre duas curvas, usamos a fórmula:
Nesse caso,
e
, com
e
.
Passo 7
Aplicando a fórmula:
Vamos calcular essa integral para encontrar a área.
Passo 8
Calculando a integral:
Agora, vamos avaliar de
a
.
Passo 9
Avaliação nos limites:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas
e
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Calcule a integral:
Determine se o conjunto dado é ou não: (i.) aberto, (ii.)conexo e (iii.)simplesmente conexo.
a.
b.
c. ou
d.
a.
b.
c.
d.
Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área:
Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área: