Determine se o conjunto dado é ou não: (i.) aberto, (ii.)conexo e (iii.)simplesmente conexo.
a.
b.
c.
ou
d.
a.
b.
c.
d.
Passo 1
Vamos analisar o conjunto
. Esse é um conjunto no plano cartesiano que consiste em todos os pontos onde tanto
quanto
são maiores que zero. Vamos usar conceitos de topologia para determinar se esse conjunto é aberto, conexo e simplesmente conexo. Para isso, vamos precisar entender o que significa cada uma dessas propriedades.
Passo 2
(i) Verificando se o conjunto é aberto:
Um conjunto é aberto se, para qualquer ponto dentro dele, existe uma pequena “bolinha” ao redor desse ponto que também está completamente dentro do conjunto. No nosso caso, como
e
, qualquer ponto escolhido terá vizinhos que também satisfazem essas condições.
Teoria Aplicada: No espaço euclidiano
, os conjuntos definidos por desigualdades estritas (como
e
) são abertos.
Passo 3
(ii) Verificando se o conjunto é conexo:
Um conjunto é conexo se não pode ser dividido em duas partes separadas e disjuntas. No caso da região onde
e
, essa é uma região contínua sem “buracos” ou divisões.
Teoria Aplicada: No plano
, regiões que são “formas contínuas” sem interrupções são conexas.
Passo 4
(iii) Verificando se o conjunto é simplesmente conexo:
Um conjunto é simplesmente conexo se é conexo e, além disso, todo “laço” (ou caminho fechado) dentro do conjunto pode ser contraído a um ponto sem sair do conjunto. Como a região
e
não tem buracos, qualquer laço pode ser “apertado” até um ponto.
Teoria Aplicada: Regiões planas sem buracos são simplesmente conexas.
Resposta
O conjunto
é:
i. Aberto
ii. Conexo
iii. Simplesmente Conexo
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