Determine se o conjunto dado é ou não: (i.) aberto, (ii.)conexo e (iii.)simplesmente conexo.
a. {(x, y) | x > 0, y > 0}
b. {(x, y) | 1 < x^2 + y^2 < 4}
c. {(x, y) | x^2 + y^2 <= 1} ou 4 <= x^2 + y^2 <= 9
d. {(x, y) | x ≠ 0}

Passo 1

Vamos analisar o conjunto {(x, y) | x > 0, y > 0}. Esse é um conjunto no plano cartesiano que consiste em todos os pontos onde tanto x quanto y são maiores que zero. Vamos usar conceitos de topologia para determinar se esse conjunto é aberto, conexo e simplesmente conexo. Para isso, vamos precisar entender o que significa cada uma dessas propriedades.

Passo 2

(i) Verificando se o conjunto é aberto:
Um conjunto é aberto se, para qualquer ponto dentro dele, existe uma pequena “bolinha” ao redor desse ponto que também está completamente dentro do conjunto. No nosso caso, como e , qualquer ponto escolhido terá vizinhos que também satisfazem essas condições.
Teoria Aplicada: No espaço euclidiano , os conjuntos definidos por desigualdades estritas (como e ) são abertos.

Passo 3

(ii) Verificando se o conjunto é conexo:
Um conjunto é conexo se não pode ser dividido em duas partes separadas e disjuntas. No caso da região onde e , essa é uma região contínua sem “buracos” ou divisões.
Teoria Aplicada: No plano , regiões que são “formas contínuas” sem interrupções são conexas.

Passo 4

(iii) Verificando se o conjunto é simplesmente conexo:
Um conjunto é simplesmente conexo se é conexo e, além disso, todo “laço” (ou caminho fechado) dentro do conjunto pode ser contraído a um ponto sem sair do conjunto. Como a região e não tem buracos, qualquer laço pode ser “apertado” até um ponto.
Teoria Aplicada: Regiões planas sem buracos são simplesmente conexas.

Resposta

O conjunto {(x, y) | x > 0, y > 0} é:
i. Aberto
ii. Conexo
iii. Simplesmente Conexo

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