Calcule a integral: integralpi / 3^pi / 2 e^sec 2 x sec 2 x tg 2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas e exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar. Olha só, temos e também na integral. Isso sugere que podemos fazer uma substituição onde é igual a .

Passo 3

Fazendo a substituição du = 2 sec 2x tan 2x , dx , precisamos achar o diferencial dx = du2 sec 2x tan 2x . A derivada de é , ou seja:
Daí, podemos resolver para :

Passo 4

Agora, vamos substituir tudo na integral original. Substituindo integral e^u cdot sec 2x tan 2x cdot du2 sec 2x tan 2x = integral e^u2 , du e 12 integral e^u , du , temos:
Isso simplifica para:

Passo 5

A integral de 12 e^u + C em relação a 12 e^sec 2x + C é simplesmente . Portanto:
Agora, substituímos de volta pela expressão original:

Passo 6

Como nossa integral tem limites de [ 12 e^sec 2x ]pi/3^pi/2 = 12 ( e^sec(2 cdot pi/2) - e^sec(2 cdot pi/3) ) a , vamos avaliar a antiderivada nesses pontos:

Passo 7

Calculando as funções trigonométricas nos limites:
sec(2 cdot pi/2) = sec pi = -1
sec(2 cdot pi/3) = sec ( 2pi3 ) = -2
Então, substituindo:
12 ( e^-1 - e^-2 )

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados