Calcule a integral:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas e exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar. Olha só, temos e também na integral. Isso sugere que podemos fazer uma substituição onde é igual a .

Passo 3

Fazendo a substituição , precisamos achar o diferencial . A derivada de é , ou seja:
Daí, podemos resolver para :

Passo 4

Agora, vamos substituir tudo na integral original. Substituindo e , temos:
Isso simplifica para:

Passo 5

A integral de em relação a é simplesmente . Portanto:
Agora, substituímos de volta pela expressão original:

Passo 6

Como nossa integral tem limites de a , vamos avaliar a antiderivada nesses pontos:

Passo 7

Calculando as funções trigonométricas nos limites:
Então, substituindo:

Resposta

A integral vale .

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Calcule a integral:
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parametro cresce.
a.
b.
c.
d.
Determine se o conjunto dado é ou não: (i.) aberto, (ii.)conexo e (iii.)simplesmente conexo.
a.
b.
c. ou
d.
Calcule a integral: