Calcule a integral:
integral1^2 v^3+3 v^6v^4 d v

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral integral1^2 v^3+3 v^6v^4 , dv. O conteúdo aqui é de Cálculo Integral, e para resolver, vamos precisar simplificar a expressão dentro da integral e depois aplicar as regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração v^3+3 v^6v^4. Para isso, dividimos cada termo do numerador pelo denominador separadamente.

Passo 3

Dividindo v^3 por v^4 temos v^3-4 = v^-1. Já dividindo 3 v^6 por v^4, fica 3 v^6-4 = 3 v^2. Então, a expressão fica:
v^3+3 v^6v^4 = v^-1 + 3 v^2

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral com a expressão simplificada:
integral1^2 ( v^-1 + 3 v^2 ) , dv
Isso torna a integração mais fácil, pois podemos separar a integral em duas partes.

Passo 5

Vamos separar a integral:
integral1^2 v^-1 , dv + integral1^2 3 v^2 , dv
Cada uma dessas integrais será resolvida individualmente.

Passo 6

Integrando v^-1:
integral v^-1 , dv = ln|v|
E integrando 3 v^2:
integral 3 v^2 , dv = 3 cdot v^33 = v^3
Então, a integral completa fica:
ln|v| + v^3

Passo 7

Agora, vamos avaliar essa expressão no intervalo de 1 a 2:
[ ln v + v^3 ]1^2 = (ln 2 + 2^3) - (ln 1 + 1^3)
Sabemos que ln 1 = 0 e 2^3 = 8, então:
(ln 2 + 8) - (0 + 1) = ln 2 + 7

Resposta

O valor da integral é ln 2 + 7.

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