Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula.
integral raiz1+x1-x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente utilizando técnicas de integração como substituição e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar substituições que simplifiquem a expressão dentro da raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observamos que t = raiz1+x1-x pode ser manipulada para facilitar a integração. Para isso, utilizamos uma substituição trigonométrica. Vamos definir:

Passo 3

Com essa substituição, precisamos expressar t = raiz1+x1-x Rightarrow t^2 = 1+x1-x em termos de t^2 (1 - x) = 1 + x . Vamos resolver para t^2 - t^2 x = 1 + x :
t^2 - 1 = x (t^2 + 1) Rightarrow x = t^2 - 1t^2 + 1
Multiplicando ambos os lados por :
Distribuindo :
Rearranjando os termos para isolar :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a expressão para dx = ddt(t^2 - 1t^2 + 1) dt em termos de dx = (2t)(t^2 + 1) - (t^2 - 1)(2t)(t^2 + 1)^2 dt = 2t(t^2 + 1 - t^2 + 1)(t^2 + 1)^2 dt = 4t(t^2 + 1)^2 dt . Diferenciando em relação a :
Aplicando a regra da derivada para quocientes:

Passo 5

Substituímos integral raiz1+x1-x , dx = integral t cdot 4t(t^2 + 1)^2 dt = 4 integral t^2(t^2 + 1)^2 dt e na integral original:

Passo 6

Agora, simplificamos a integral:
4 integral t^2(t^2 + 1)^2 dt
Podemos reescrever 4 integral (t^2 + 1) - 1(t^2 + 1)^2 dt = 4 integral ( 1t^2 + 1 - 1(t^2 + 1)^2 ) dt como :

Passo 7

Agora, separaremos a integral em duas partes:
4 ( integral 1t^2 + 1 dt - integral 1(t^2 + 1)^2 dt )
A primeira integral é uma integral padrão que resulta em integral 1(t^2 + 1)^2 dt = t2(t^2 + 1) + 12 tan^-1(t) + C .
Para a segunda integral, usamos a fórmula:

Passo 8

Aplicando as soluções das integrais:
4 ( tan^-1(t) - ( t2(t^2 + 1) + 12 tan^-1(t) ) ) + C
Simplificando:
4 ( 12 tan^-1(t) - t2(t^2 + 1) ) + C = 2 tan^-1(t) - 2tt^2 + 1 + C

Passo 9

Lembrando que 2 tan^-1( raiz1+x1-x ) - 2 raiz1+x1-x( raiz1+x1-x )^2 + 1 + C , substituímos de volta:
( raiz1+x1-x )^2 + 1 = 1+x1-x + 1 = 1+x + 1 - x1 - x = 21 - x
Simplificando o denominador:
2 raiz1+x1-x21 - x = (1 - x) raiz1+x1-x = raiz(1+x)(1-x) = raiz1 - x^2
Portanto:

Resposta

A integral é igual a:
2 tan^-1( raiz1+x1-x ) - raiz1 - x^2 + C

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