Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula.

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente utilizando técnicas de integração como substituição e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar substituições que simplifiquem a expressão dentro da raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observamos que pode ser manipulada para facilitar a integração. Para isso, utilizamos uma substituição trigonométrica. Vamos definir:

Passo 3

Com essa substituição, precisamos expressar em termos de . Vamos resolver para :
Multiplicando ambos os lados por :
Distribuindo :
Rearranjando os termos para isolar :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a expressão para em termos de . Diferenciando em relação a :
Aplicando a regra da derivada para quocientes:

Passo 5

Substituímos e na integral original:

Passo 6

Agora, simplificamos a integral:
Podemos reescrever como :

Passo 7

Agora, separaremos a integral em duas partes:
A primeira integral é uma integral padrão que resulta em .
Para a segunda integral, usamos a fórmula:

Passo 8

Aplicando as soluções das integrais:
Simplificando:

Passo 9

Lembrando que , substituímos de volta:
Simplificando o denominador:
Portanto:

Resposta

A integral é igual a:

Exercícios relacionados

Calcule a integral:
Nos itens abaixo, é dada a inclinção em cada ponto de uma curva , juntamente com um ponto particular da curva. Use estas informações para determinar .
.
Nos exercícios abaixo, calcule a área do conjunto .
A é o conjunto do todos os pontos tais que e .
Demonstre a fórmula, onde e são inteiros positivos.