Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula.
Passo 1
Vamos resolver a integral
. Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente utilizando técnicas de integração como substituição e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar substituições que simplifiquem a expressão dentro da raiz.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observamos que
pode ser manipulada para facilitar a integração. Para isso, utilizamos uma substituição trigonométrica. Vamos definir:
Passo 3
Com essa substituição, precisamos expressar
em termos de
. Vamos resolver para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Distribuindo
:
Rearranjando os termos para isolar
:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a expressão para
em termos de
. Diferenciando
em relação a
:
Aplicando a regra da derivada para quocientes:
Passo 5
Substituímos
e
na integral original:
Passo 6
Agora, simplificamos a integral:
Podemos reescrever
como
:
Passo 7
Agora, separaremos a integral em duas partes:
A primeira integral é uma integral padrão que resulta em
.
Para a segunda integral, usamos a fórmula:
Passo 8
Aplicando as soluções das integrais:
Simplificando:
Passo 9
Lembrando que
, substituímos de volta:
Simplificando o denominador:
Portanto:
Resposta
A integral é igual a:
Exercícios relacionados
Calcule a integral:
Nos itens abaixo, é dada a inclinção
em cada ponto
de uma curva
, juntamente com um ponto particular
da curva. Use estas informações para determinar
.
.
Nos exercícios abaixo, calcule a área do conjunto
.
A é o conjunto do todos os pontos tais que
e
.
A é o conjunto do todos os pontos
Demonstre a fórmula, onde
e
são inteiros positivos.