Nos itens abaixo, é dada a inclinção em cada ponto de uma curva , juntamente com um ponto particular da curva. Use estas informações para determinar .
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Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a derivada de uma função, que é , e um ponto específico da curva dessa função, que é . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração, que é o processo inverso da derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente em cada ponto. Mas para encontrar a função original a partir da sua derivada , precisamos fazer a integral da derivada. Então, vamos integrar para encontrar .

Passo 3

Vamos calcular a integral de :
Essa integral pode ser resolvida termo a termo.

Passo 4

Integrando cada termo separadamente:
Então, juntando tudo:
Aqui, é a constante de integração que precisamos determinar.

Passo 5

Para encontrar o valor de , usamos o ponto dado . Isso significa que quando , . Vamos substituir esses valores na função que encontramos:

Resposta

Portanto, a função que satisfaz e passa pelo ponto é:

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Nos itens abaixo, é dada a inclinção em cada ponto de uma curva , juntamente com um ponto particular da curva. Use estas informações para determinar .
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Nos itens abaixo, é dada a inclinção em cada ponto de uma curva , juntamente com um ponto particular da curva. Use estas informações para determinar .
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Calcule a integral:
Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula.