Nos itens abaixo, é dada a inclinção f'(x) em cada ponto (x, y) de uma curva f(x), juntamente com um ponto particular (a, b) da curva. Use estas informações para determinar f(x).
f'(x) = 4x + 1 ; (1,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a derivada de uma função, que é , e um ponto específico da curva dessa função, que é . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a função f(x). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração, que é o processo inverso da derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente em cada ponto. Mas para encontrar a função original f(x) a partir da sua derivada f'(x), precisamos fazer a integral da derivada. Então, vamos integrar f'(x) para encontrar f(x).

Passo 3

Vamos calcular a integral de :
Essa integral pode ser resolvida termo a termo.

Passo 4

Integrando cada termo separadamente:
Então, juntando tudo:
Aqui, C é a constante de integração que precisamos determinar.

Passo 5

Para encontrar o valor de C, usamos o ponto dado . Isso significa que quando x = 1, . Vamos substituir esses valores na função que encontramos:

Resposta

Portanto, a função que satisfaz e passa pelo ponto é:

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