Nos itens abaixo, é dada a inclinção f'(x) em cada ponto (x, y) de uma curva f(x), juntamente com um ponto particular (a, b) da curva. Use estas informações para determinar f(x).
f'(x) = x^3 - 2/x^2 + 2;

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a inclinação da curva em cada ponto, que é a derivada , e também sabemos um ponto específico (a, b) que está na curva f(x). Nosso objetivo é encontrar a função original f(x). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, mais especificamente a integração, que é o processo inverso da derivada.

Passo 2

O primeiro passo para encontrar f(x) é integrar a derivada f'(x). A integração vai nos dar a função original mais uma constante de integração, que vamos determinar usando o ponto dado (a, b).
Vamos calcular a integral:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa integral termo a termo:
  1. Integrando x^3:
    A integral de x^n é , então:
  2. Integrando :
    Podemos reescrever como . A integral de x^n é , então:
  3. Integrando :
    A integral de uma constante a é a x, então:

Passo 4

Agora, vamos somar todas as integrais que calculamos e adicionar a constante de integração C:

Passo 5

Para determinar o valor de C, usamos o ponto específico (a, b) que está na curva f(x). Isso significa que quando , . Vamos substituir esses valores na expressão de f(x):
Agora, isolamos C para encontrá-lo:

Resposta

Portanto, a função f(x) que satisfaz as condições dadas é:

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