Nos itens abaixo, é dada a inclinção em cada ponto de uma curva , juntamente com um ponto particular da curva. Use estas informações para determinar .
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Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a inclinação da curva em cada ponto, que é a derivada , e também sabemos um ponto específico que está na curva . Nosso objetivo é encontrar a função original . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, mais especificamente a integração, que é o processo inverso da derivada.

Passo 2

O primeiro passo para encontrar é integrar a derivada . A integração vai nos dar a função original mais uma constante de integração, que vamos determinar usando o ponto dado .
Vamos calcular a integral:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa integral termo a termo:
  1. Integrando :
    A integral de é , então:
  2. Integrando :
    Podemos reescrever como . A integral de é , então:
  3. Integrando :
    A integral de uma constante é , então:

Passo 4

Agora, vamos somar todas as integrais que calculamos e adicionar a constante de integração :

Passo 5

Para determinar o valor de , usamos o ponto específico que está na curva . Isso significa que quando , . Vamos substituir esses valores na expressão de :
Agora, isolamos para encontrá-lo:

Resposta

Portanto, a função que satisfaz as condições dadas é:

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Nos itens abaixo, é dada a inclinção em cada ponto de uma curva , juntamente com um ponto particular da curva. Use estas informações para determinar .
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Encontre a integral pedida. Calcule a integral:
Nos itens abaixo, é dada a inclinção em cada ponto de uma curva , juntamente com um ponto particular da curva. Use estas informações para determinar .
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Calcule a integral: