Demostre a fórmula, onde e são inteiros positivos.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que demonstrar que, para inteiros positivos e , a integral
é igual a zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, observe os limites de integração: ambos são . Quando o limite inferior e o superior de uma integral são iguais, o valor da integral é sempre zero, independentemente da função que estamos integrando. Isso porque não há “área” para calcular entre dois pontos iguais.

Passo 3

Para entender melhor, lembremos a definição básica de uma integral definida:
Isso significa que, se os limites de integração são os mesmos ( neste caso), a integral resultará em zero.

Passo 4

Aplicando essa propriedade à nossa integral específica:
Aqui, independentemente dos valores específicos de e , desde que sejam inteiros positivos, a integral será sempre zero devido aos limites iguais de integração.

Resposta

A integral de de até é igual a zero.

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Suponha que e seja conínua. Encontre o valor de .
Encontre a área da região ndelimitada pelas curvas dadas
Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral.
Calcule a integral: