Demostre a fórmula, onde
e
são inteiros positivos.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que demonstrar que, para inteiros positivos
e
, a integral
é igual a zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, observe os limites de integração: ambos são
. Quando o limite inferior e o superior de uma integral são iguais, o valor da integral é sempre zero, independentemente da função que estamos integrando. Isso porque não há “área” para calcular entre dois pontos iguais.
Passo 3
Para entender melhor, lembremos a definição básica de uma integral definida:
Isso significa que, se os limites de integração são os mesmos (
neste caso), a integral resultará em zero.
Passo 4
Aplicando essa propriedade à nossa integral específica:
Aqui, independentemente dos valores específicos de
e
, desde que sejam inteiros positivos, a integral será sempre zero devido aos limites iguais de integração.
Resposta
A integral de
de
até
é igual a zero.
Exercícios relacionados
Suponha que
e
seja conínua. Encontre o valor de
.
Encontre a área da região ndelimitada pelas curvas dadas
Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral.
Calcule a integral: