Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de uma função envolvendo exponenciais. O problema está relacionado ao cálculo de integrais e vamos precisar usar uma técnica chamada substituição para transformar o integrando em uma função racional, o que facilitará o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral usando uma substituição. Vamos definir:
Com essa substituição, precisamos encontrar a derivada de em relação a :
Agora, podemos reescrever a integral original em termos de :

Passo 3

O próximo passo é simplificar o denominador . Vamos fatorar esse polinômio:
Assim, a integral fica:

Passo 4

Para integrar essa fração, vamos usar a técnica de frações parciais. Queremos escrever a expressão como a soma de duas frações mais simples:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, temos:
Agora, vamos encontrar os valores de e :
  • Para :
  • Para :
Portanto, a fração parcial fica:

Passo 5

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
Integrando, obtemos:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, substituímos de volta na expressão:
Podemos simplificar a expressão utilizando propriedades dos logaritmos:

Resposta

A integral é:

Exercícios relacionados

Demostre a fórmula, onde e são inteiros positivos.
Suponha que e seja conínua. Encontre o valor de .
Calcule a integral:
Encontre o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado:
em torno