Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral. integral e^xe^2 x+3 e^x+2 d x

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de uma função envolvendo exponenciais. O problema está relacionado ao cálculo de integrais e vamos precisar usar uma técnica chamada substituição para transformar o integrando em uma função racional, o que facilitará o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral usando uma substituição. Vamos definir:
u = e^x
Com essa substituição, precisamos encontrar a derivada de dudx = e^x Rightarrow du = e^x dx em relação a integral e^xe^2x + 3e^x + 2 dx = integral duu^2 + 3u + 2 :
Agora, podemos reescrever a integral original em termos de :

Passo 3

O próximo passo é simplificar o denominador u^2 + 3u + 2 = (u + 1)(u + 2) . Vamos fatorar esse polinômio:
integral du(u + 1)(u + 2)
Assim, a integral fica:

Passo 4

Para integrar essa fração, vamos usar a técnica de frações parciais. Queremos escrever a expressão como a soma de duas frações mais simples:
1(u + 1)(u + 2) = Au + 1 + Bu + 2
Multiplicando ambos os lados por 1 = A(u + 2) + B(u + 1) para eliminar os denominadores, temos:
1 = A(-2 + 2) + B(-2 + 1) Rightarrow 1 = 0 - B Rightarrow B = -1
Agora, vamos encontrar os valores de 1 = A(-1 + 2) + B(-1 + 1) Rightarrow 1 = A(1) + 0 Rightarrow A = 1 e 1(u + 1)(u + 2) = 1u + 1 - 1u + 2 :
  • Para :
  • Para :
Portanto, a fração parcial fica:

Passo 5

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral ( 1u + 1 - 1u + 2 ) du = integral 1u + 1 du - integral 1u + 2 du
Integrando, obtemos:
ln|u + 1| - ln|u + 2| + C
onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, substituímos ln(e^x + 1) - ln(e^x + 2) + C de volta na expressão:
ln(e^x + 1e^x + 2) + C
Podemos simplificar a expressão utilizando propriedades dos logaritmos:

Resposta

A integral é:
ln(e^x + 1e^x + 2) + C

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