Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de uma função envolvendo exponenciais. O problema está relacionado ao cálculo de integrais e vamos precisar usar uma técnica chamada substituição para transformar o integrando em uma função racional, o que facilitará o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral usando uma substituição. Vamos definir:
Com essa substituição, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
:
Agora, podemos reescrever a integral original em termos de
:
Passo 3
O próximo passo é simplificar o denominador
. Vamos fatorar esse polinômio:
Assim, a integral fica:
Passo 4
Para integrar essa fração, vamos usar a técnica de frações parciais. Queremos escrever a expressão como a soma de duas frações mais simples:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores, temos:
Agora, vamos encontrar os valores de
e
:
- Para
:
- Para
:
Portanto, a fração parcial fica:
Passo 5
Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
Integrando, obtemos:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Por fim, substituímos
de volta na expressão:
Podemos simplificar a expressão utilizando propriedades dos logaritmos:
Resposta
A integral é:
Exercícios relacionados
Demostre a fórmula, onde
e
são inteiros positivos.
Suponha que
e
seja conínua. Encontre o valor de
.
Calcule a integral:
Encontre o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado:
em torno