Calcule a integral integral-1^2 integral1^x^2 integral0^x+y 2 x^2 y d z d y d x. (2,5 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral juntos! O problema pede para calcular a integral tripla:
integral-1^2 integral1^x^2 integral0^x+y 2 x^2 y , dz , dy , dx
Vamos precisar usar conceitos de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas, e entender como lidar com os limites de integração em cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a integral0^x+y 2 x^2 y , dz . A integral mais interna é:
integral0^x+y 2 x^2 y , dz = 2 x^2 y cdot (x + y - 0) = 2 x^2 y (x + y)
Como não depende de , podemos tratar esse termo como constante em relação a . Integrar uma constante em relação a é simples:

Passo 3

Agora, vamos substituir essa expressão na integral restante. Ficará assim:
integral-1^2 integral1^x^2 2 x^2 y (x + y) , dy , dx
Agora, precisamos integrar em relação a 2 x^2 y (x + y) = 2 x^3 y + 2 x^2 y^2 . Vamos expandir a expressão dentro da integral para facilitar:
integral-1^2 ( integral1^x^2 2 x^3 y + 2 x^2 y^2 , dy ) dx
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral em relação a integral1^x^2 2 x^3 y , dy + integral1^x^2 2 x^2 y^2 , dy :
2 x^3 cdot [ y^22 ]1^x^2 + 2 x^2 cdot [ y^33 ]1^x^2
Integrando termo a termo:
x^3 ( (x^2)^2 - 1^2 ) + 2 x^23 ( (x^2)^3 - 1^3 )
Simplificando:
x^3 (x^4 - 1) + 2 x^23 (x^6 - 1)
Calculando as potências:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão:
x^7 - x^3 + 23 x^8 - 23 x^2
Podemos rearranjar os termos:
23 x^8 + x^7 - x^3 - 23 x^2

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a integral-1^2 ( 23 x^8 + x^7 - x^3 - 23 x^2 ) dx de 23 cdot x^99 + x^88 - x^44 - 23 cdot x^33 gr|-1^2 a 227 x^9 + 18 x^8 - 14 x^4 - 29 x^3 gr|-1^2 :
Integrando termo a termo:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos calcular os valores nos limites 227 (512) + 18 (256) - 14 (16) - 29 (8) = 102427 + 32 - 4 - 169 e 227 (-1) + 18 (1) - 14 (1) - 29 (-1) = -227 + 18 - 14 + 29 :
Para :
Para :

Passo 8

Calculando as diferenças:
( 102427 + 32 - 4 - 169 ) - ( -227 + 18 - 14 + 29 )
Convertendo para denominadores comuns e simplificando, finalmente obtemos:
102427 + 28 - 169 + 227 - 18 + 14 - 29 = Valor Final
Após realizar os cálculos, o resultado final dessa integral é aproximadamente .

Resposta

O valor da integral tripla é aproximadamente .

Exercícios relacionados