Calcule a integral . (2,5 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral juntos! O problema pede para calcular a integral tripla:
Vamos precisar usar conceitos de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas, e entender como lidar com os limites de integração em cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a . A integral mais interna é:
Como não depende de , podemos tratar esse termo como constante em relação a . Integrar uma constante em relação a é simples:

Passo 3

Agora, vamos substituir essa expressão na integral restante. Ficará assim:
Agora, precisamos integrar em relação a . Vamos expandir a expressão dentro da integral para facilitar:
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral em relação a :
Integrando termo a termo:
Simplificando:
Calculando as potências:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão:
Podemos rearranjar os termos:

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a de a :
Integrando termo a termo:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos calcular os valores nos limites e :
Para :
Para :

Passo 8

Calculando as diferenças:
Convertendo para denominadores comuns e simplificando, finalmente obtemos:
Após realizar os cálculos, o resultado final dessa integral é aproximadamente .

Resposta

O valor da integral tripla é aproximadamente .

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