Encontre a derivada direcional da função dada, no ponto dado e na direção do vetor dado.
  • f(x, y, z) = x*y + x*z + y*z, P = (1, 2, 1), w = i + j - k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para resolver isso, vamos precisar do conceito de derivada direcional, que envolve o gradiente da função e a normalização do vetor direção.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Ou seja,
Vamos calcular cada derivada parcial:
Portanto, o gradiente é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo , e na expressão do gradiente:

Passo 4

Em seguida, precisamos normalizar o vetor direção . A normalização transforma o vetor em um vetor unitário (comprimento igual a 1). A fórmula para normalizar um vetor é:
Primeiro, calculamos a norma de :
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 5

Por fim, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente de no ponto com o vetor unitário :
Calculando o produto escalar:

Resposta

A derivada direcional da função no ponto na direção do vetor é .

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