Encontre a derivada direcional da função dada, no ponto dado e na direção do vetor dado.
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.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Para resolver isso, vamos precisar do conceito de derivada direcional, que envolve o gradiente da função e a normalização do vetor direção.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Ou seja,
Vamos calcular cada derivada parcial:
Portanto, o gradiente é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
. Substituindo
,
e
na expressão do gradiente:
Passo 4
Em seguida, precisamos normalizar o vetor direção
. A normalização transforma o vetor em um vetor unitário (comprimento igual a 1). A fórmula para normalizar um vetor
é:
Primeiro, calculamos a norma de
:
Então, o vetor unitário na direção de
é:
Passo 5
Por fim, a derivada direcional
é o produto escalar do gradiente de
no ponto
com o vetor unitário
:
Calculando o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
é
.