Encontre a derivada direcional da função dada, no ponto dado e na direção do vetor dado.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a derivada direcional, que nos mostra a taxa de variação da função em uma direção específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função no ponto na direção do vetor é dada por:
Aqui, é o gradiente de no ponto , e é o vetor unitário na direção de .

Passo 3

Vamos calcular o gradiente . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e :
Calculando as derivadas:
Então, o gradiente fica:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 5

Em seguida, precisamos transformar o vetor em um vetor unitário . Para isso, dividimos pelo seu módulo:
Então,

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional:
Fazendo o produto interno:
Podemos racionalizar o denominador:

Resposta

A derivada direcional da função no ponto na direção do vetor é .

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