Encontre a derivada direcional da função dada, no ponto dado e na direção do vetor dado.
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.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a derivada direcional, que nos mostra a taxa de variação da função em uma direção específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função
no ponto
na direção do vetor
é dada por:
Aqui,
é o gradiente de
no ponto
, e
é o vetor unitário na direção de
.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Calculando as derivadas:
Então, o gradiente fica:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 5
Em seguida, precisamos transformar o vetor
em um vetor unitário
. Para isso, dividimos
pelo seu módulo:
Então,
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional:
Fazendo o produto interno:
Podemos racionalizar o denominador:
Resposta
A derivada direcional da função no ponto
na direção do vetor
é
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. (2,5 pontos)
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