Encontre a derivada direcional da função dada, no ponto dado e na direção do vetor dado.
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.
Passo 1
Aqui a gente precisa encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Vamos usar cálculo diferencial, especificamente o conceito de derivada direcional, que nos ajuda a saber como a função muda em uma direção específica a partir de um ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
em relação às variáveis. Para a nossa função:
Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Portanto, o gradiente é:
Passo 4
Agora, avaliamos o gradiente no ponto
:
Passo 5
A derivada direcional
é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor unitário na direção de
. Primeiro, normalizamos
:
Passo 6
Finalmente, calculamos a derivada direcional:
Simplificando:
Resposta
A derivada direcional da função no ponto
na direção do vetor
é
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Esboce a região cuja área é dada pela integral
e calcule-a. (2,5 pontos)
Calcule a integral
. (2,5 pontos)
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