Encontre a derivada direcional da função dada, no ponto dado e na direção do vetor dado.
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Passo 1

Aqui a gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Vamos usar cálculo diferencial, especificamente o conceito de derivada direcional, que nos ajuda a saber como a função muda em uma direção específica a partir de um ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação às variáveis. Para a nossa função:
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial de em relação a :
Portanto, o gradiente é:

Passo 4

Agora, avaliamos o gradiente no ponto :

Passo 5

A derivada direcional é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor unitário na direção de . Primeiro, normalizamos :

Passo 6

Finalmente, calculamos a derivada direcional:
Simplificando:

Resposta

A derivada direcional da função no ponto na direção do vetor é .

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Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a. (2,5 pontos)
Calcule a integral . (2,5 pontos)
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