Calcule a integral
integral1^2 x^3 ln x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida de entre 1 e 2. Isso envolve o cálculo de integrais, especificamente utilizando o método de integração por partes. Para chegar na resposta, vamos precisar entender e aplicar essa técnica passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. Essa técnica é útil quando temos o produto de duas funções e queremos integrá-las. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e .

Passo 3

Vamos escolher u = ln x Rightarrow du = 1x dx porque a derivada do logaritmo é mais simples. Então, temos:
dv = x^3 dx Rightarrow v = x^44
E o restante é , então vamos integrar isso para achar :

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x^3 ln x , dx = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x^3 ln x , dx = x^44 ln x - integral x^44 cdot 1x dx
Simplificando a integral:
x^44 ln x - 14 integral x^3 dx

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral restante:
integral x^3 dx = x^44 + C
Substituindo de volta na expressão:
x^44 ln x - 14 ( x^44 ) + C = x^44 ln x - x^416 + C

Passo 6

Como queremos uma integral definida entre 1 e 2, vamos calcular os limites:
Para 2^44 ln 2 - 2^416 = 164 ln 2 - 1616 = 4 ln 2 - 1 :
1^44 ln 1 - 1^416 = 14 cdot 0 - 116 = -116
Para :

Resposta

Subtraindo os valores nos limites:
4 ln 2 - 1 - ( -116 ) = 4 ln 2 - 1 + 116 = 4 ln 2 - 1516
Portanto, o valor da integral é:
4 ln 2 - 1516

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