Calcule a integral

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida de entre 1 e 2. Isso envolve o cálculo de integrais, especificamente utilizando o método de integração por partes. Para chegar na resposta, vamos precisar entender e aplicar essa técnica passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. Essa técnica é útil quando temos o produto de duas funções e queremos integrá-las. A fórmula da integração por partes é:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e .

Passo 3

Vamos escolher porque a derivada do logaritmo é mais simples. Então, temos:
E o restante é , então vamos integrar isso para achar :

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando a integral:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral restante:
Substituindo de volta na expressão:

Passo 6

Como queremos uma integral definida entre 1 e 2, vamos calcular os limites:
Para :
Para :

Resposta

Subtraindo os valores nos limites:
Portanto, o valor da integral é:

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