Calcule a integral
integral x e^x / 2 d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral . Esse exercício é de cálculo integral, mais especificamente da técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender essa técnica e identificar quais partes da função vamos designar como e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Ou seja, a gente escolhe uma parte da função para ser e outra para ser , depois deriva para encontrar e integra para achar .

Passo 3

No nosso caso, temos u = x e dv = e^x / 2 , dx . Vamos escolher:
Isso porque derivar vai simplificar a expressão, e integrar é direto.

Passo 4

Agora vamos encontrar du = dx (derivando (u = x)) e v = integral e^x / 2 , dx :
v = integral e^w cdot 2 , dw = 2 e^w + C = 2 e^x / 2
Para integrar , fazemos uma substituição simples. Seja , então ou . Assim:

Passo 5

Aplicando a fórmula de integraç��o por partes:
integral x e^x / 2 , dx = u v - integral v , du
Substituindo:
= x cdot 2 e^x / 2 - integral 2 e^x / 2 cdot dx
= 2x e^x / 2 - 2 integral e^x / 2 , dx

Passo 6

Vamos resolver a integral que sobrou:
integral e^x / 2 , dx = 2 e^x / 2 + C
Portanto:
2x e^x / 2 - 2 cdot 2 e^x / 2 = 2x e^x / 2 - 4 e^x / 2

Passo 7

Podemos fatorar 2 e^x / 2 (x - 2) para simplificar:

Resposta

A integral 2 e^x / 2 (x - 2) + C é:

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