Calcule a integral. integral1^2 x^5 ln x d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral definida de de 1 a 2. Vamos usar o conteúdo de cálculo integral, especificamente a técnica de integração por partes. Para resolver, precisamos identificar quais partes da função vamos derivar e integrar.

Passo 2

Na integração por partes, usamos a fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Escolhemos (pois a derivada de é mais simples) e .

Passo 3

Calculamos du = 1x dx e v = integral x^5 dx = x^66 :

Passo 4

Aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral x^5 ln x dx = ln x cdot x^66 - integral x^66 cdot 1x dx
Simplificando a integral restante:
= x^6 ln x6 - 16 integral x^5 dx

Passo 5

Calculamos a integral integral x^5 dx = x^66 + C :
= x^6 ln x6 - 16 cdot x^66 = x^6 ln x6 - x^636
Substituindo de volta:

Passo 6

Agora, avaliamos a integral definida de 1 a 2:
x^6 ln x6 - x^636 |1^2 = ( 2^6 ln 26 - 2^636 ) - ( 1^6 ln 16 - 1^636 )
Sabemos que .

Passo 7

Calculando os valores:
= ( 64 ln 26 - 6436 ) - ( 0 - 136 ) = 64 ln 26 - 6436 + 136
Simplificando:
= 64 ln 26 - 6336 = 64 ln 26 - 74

Resposta

A integral definida de de 1 a 2 é .

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