Calcule a integral. integral-3^3 x1+|x| d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de de até . Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais que envolvem funções com valor absoluto. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com a função e dividir a integral em partes que sejam mais fáceis de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . O valor absoluto muda a forma da função dependendo de ser positivo ou negativo. Por isso, vamos dividir a integral em duas partes: uma de a e outra de a .

Passo 3

Para x1 + (-x) = x1 - x , integral-3^0 x1 - x dx . Então, a função fica:
Então, a integral de a se torna:

Passo 4

Para x1 + x , integral0^3 x1 + x dx . Assim, a função fica:
Então, a integral de a é:

Passo 5

Vamos resolver a primeira integral integral4^1 (1 - u)u (-du) = integral1^4 ( 1u - 1 ) du . Podemos fazer uma substituição simples para facilitar. Seja ln|u| - u g|1^4 = (ln 4 - 4) - (ln 1 - 1) = ln 4 - 4 - 0 + 1 = ln 4 - 3 , então e . Quando , , e quando , . A integral fica:
Integrando:

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda integral integral1^4 v - 1v dv = integral1^4 (1 - 1v) dv . Novamente, usamos uma substituição. Seja v - ln|v| g|1^4 = (4 - ln 4) - (1 - ln 1) = 4 - ln 4 - 1 + 0 = 3 - ln 4 , então e . Quando , , e quando , . A integral fica:
Integrando:

Resposta

Agora, somamos as duas integrais:
(ln 4 - 3) + (3 - ln 4) = 0
Portanto, o valor da integral é 0.

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