É possível encontrar um número tal que seja convergente?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se existe algum número tal que a integral seja convergente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente sobre integrais impróprias e os critérios de convergência.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa a integral ser convergente. Uma integral imprópria como essa pode ser dividida em duas partes: de a algum número finito (digamos, ) e de até o infinito. Para que a integral total seja convergente, as duas partes precisam ser convergentes.

Passo 3

Vamos analisar a primeira parte: . Aqui, estamos olhando para o comportamento de perto de . A integral converge se o expoente for maior que (ou seja, ). Se , a integral não converge nessa região.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte: . Aqui, a gente observa o que acontece quando vai para o infinito. A integral converge se o expoente for menor que (ou seja, ). Se , essa parte da integral não converge.

Passo 5

Pra ter a integral toda convergente, tanto quanto precisam ser verdade ao mesmo tempo. Mas pera aí, isso é impossível! Um número não pode ser simultaneamente maior e menor que .

Resposta

Não existe um número para o qual a integral seja convergente.

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