É possível encontrar um número
tal que
seja convergente?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se existe algum número
tal que a integral
seja convergente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente sobre integrais impróprias e os critérios de convergência.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa a integral ser convergente. Uma integral imprópria como essa pode ser dividida em duas partes: de
a algum número finito (digamos,
) e de
até o infinito. Para que a integral total seja convergente, as duas partes precisam ser convergentes.
Passo 3
Vamos analisar a primeira parte:
. Aqui, estamos olhando para o comportamento de
perto de
. A integral converge se o expoente
for maior que
(ou seja,
). Se
, a integral não converge nessa região.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda parte:
. Aqui, a gente observa o que acontece quando
vai para o infinito. A integral converge se o expoente
for menor que
(ou seja,
). Se
, essa parte da integral não converge.
Passo 5
Pra ter a integral toda convergente, tanto
quanto
precisam ser verdade ao mesmo tempo. Mas pera aí, isso é impossível! Um número não pode ser simultaneamente maior e menor que
.
Resposta
Não existe um número
para o qual a integral
seja convergente.
Exercícios relacionados
Use a Tabela de Integrais nas Páginas de Referência para calcular a integral.
Como você calcularia
manualmente? (Não faça a integração.)
Use a Regra do Ponto Médio com
para aproximar a integral dada. Arredonde seus resultados para seis casas decimais.
Calcule a integral.