Use a Regra do Ponto Médio com n=10 para aproximar a integral dada. Arredonde seus resultados para seis casas decimais. integral2^4 1ln x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a Regra do Ponto Médio com para aproximar a integral . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente de métodos numéricos para calcular integrais quando não conseguimos resolver de forma exata. Vamos precisar dividir o intervalo de integração em 10 partes iguais, calcular o ponto médio de cada subintervalo, avaliar a função nesse ponto médio e então somar tudo para obter a aproximação da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração: de De até . O número de subintervalos é . A largura de cada subintervalo ( ) é calculada pela fórmula:
Então, cada subintervalo tem 0,2 unidades de largura.

Passo 3

Agora, vamos determinar os pontos médios de cada subintervalo. O ponto médio ( xi^* = a + (i - 12) De) de cada subintervalo é dado por:
x1^* &= 2 + (1 - 12) times 0,2 = 2,1 x2^* &= 2 + (2 - 12) times 0,2 = 2,3 &vdots x10^* &= 2 + (10 - 12) times 0,2 = 3,9
onde varia de 1 a 10. Vamos calcular esses pontos médios:

Passo 4

Em seguida, vamos avaliar a função f(xi^*) = 1ln xi^* em cada um desses pontos médios:
f(2,1) &= 1ln 2,1 f(2,3) &= 1ln 2,3 &vdots f(3,9) &= 1ln 3,9
Calculando para cada :
Esses valores serão usados para a soma.

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra do Ponto Médio, que nos dá a aproximação da integral pela soma dos valores das funções nos pontos médios multiplicados por integral2^4 1ln x , dx approx De:
Aproximação = 0,2 times [ f(2,1) + f(2,3) + cdots + f(3,9) ]
Ou seja:
çã

Passo 6

Finalmente, calculamos cada termo da soma e multiplicamos por 0,2. Após realizar todos os cálculos, somamos os resultados e obtemos a aproximação da integral arredondada para seis casas decimais.

Resposta

A aproximação da integral usando a Regra do Ponto Médio com é aproximadamente 2,146693.

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