Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. Se
é uma função contínua, decrescente em
e
, então
é convergente.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa descobrir se a afirmação é verdadeira ou falsa. O enunciado fala sobre uma função contínua, que está sempre diminuindo no intervalo [1, ∞) e que tende a zero quando x vai ao infinito. A pergunta é se, com essas condições, a integral de f(x) de 1 até o infinito sempre converge. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua, decrescente e ter limite zero quando x tende ao infinito. Uma função contínua não tem “saltos” ou “buracos”. Decrescente significa que, conforme x aumenta, f(x) diminui. E o limite zero significa que, à medida que x fica muito grande, f(x) fica cada vez mais próximo de zero.
Passo 3
Agora, a gente precisa saber se essas condições garantem que a integral de f(x) de 1 até o infinito seja finita (convergente). A coisa é que, mesmo que a função esteja diminuindo e se aproximando de zero, isso não garante que a área sob a curva seja finita.
Passo 4
Vamos usar um exemplo para ilustrar isso. Considere a função f(x) = 1/x. Essa função é contínua, decrescente e tem limite zero quando x vai ao infinito. Mas vamos ver o que acontece com a integral dela:
Passo 5
Calculando a integral:
Passo 6
Vimos que a integral de 1/x de 1 até o infinito diverge, ou seja, não converge. Isso mostra que mesmo com uma função contínua, decrescente e que tende a zero, a integral pode não ser convergente.
Resposta
A afirmação é falsa. Por exemplo, a função
é contínua, decrescente em
e
, mas a integral
diverge.
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Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. Toda função elementar tem uma primitiva elementar.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. A Regra do Ponto Médio é sempre mais precisa que a Regra do Trapézio.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. Se
e
diverge, então
também diverge.
Calcule a integral.