Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. Se é uma função contínua, decrescente em e , então é convergente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa descobrir se a afirmação é verdadeira ou falsa. O enunciado fala sobre uma função contínua, que está sempre diminuindo no intervalo [1, ∞) e que tende a zero quando x vai ao infinito. A pergunta é se, com essas condições, a integral de f(x) de 1 até o infinito sempre converge. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua, decrescente e ter limite zero quando x tende ao infinito. Uma função contínua não tem “saltos” ou “buracos”. Decrescente significa que, conforme x aumenta, f(x) diminui. E o limite zero significa que, à medida que x fica muito grande, f(x) fica cada vez mais próximo de zero.

Passo 3

Agora, a gente precisa saber se essas condições garantem que a integral de f(x) de 1 até o infinito seja finita (convergente). A coisa é que, mesmo que a função esteja diminuindo e se aproximando de zero, isso não garante que a área sob a curva seja finita.

Passo 4

Vamos usar um exemplo para ilustrar isso. Considere a função f(x) = 1/x. Essa função é contínua, decrescente e tem limite zero quando x vai ao infinito. Mas vamos ver o que acontece com a integral dela:

Passo 5

Calculando a integral:

Passo 6

Vimos que a integral de 1/x de 1 até o infinito diverge, ou seja, não converge. Isso mostra que mesmo com uma função contínua, decrescente e que tende a zero, a integral pode não ser convergente.

Resposta

A afirmação é falsa. Por exemplo, a função é contínua, decrescente em e , mas a integral diverge.

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Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. Toda função elementar tem uma primitiva elementar.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. A Regra do Ponto Médio é sempre mais precisa que a Regra do Trapézio.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. Se e diverge, então também diverge.
Calcule a integral.