Calcule a integral:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que a gente tem aqui: . Esse tipo de integral aparece em cálculo multivariável e serve para calcular o volume sob uma superfície definida pela função que estamos integrando. Para resolver, a gente vai precisar saber como fazer integrais simples e depois aplicar isso em duas variáveis, que são o x e o y nesse caso.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral mais interna, que é em relação a x. A função que a gente vai integrar é . Lembrando que quando estamos integrando em relação a x, o y é tratado como uma constante. Então, podemos reescrever a integral assim:

Passo 3

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Agora, resolvemos cada uma separadamente.
Para a primeira parte, é igual a . A integral de em relação a x é , então temos:
Para a segunda parte, é igual a . A integral de em relação a x é , então temos:

Passo 4

Agora, juntando as duas partes, a integral interna fica:
Então, a integral dupla original se transforma em:

Passo 5

Vamos integrar essa expressão em relação a y. Novamente, separamos as integrais:
A primeira integral é e a segunda é .
Calculando nos limites de 1 a 4:
Para a primeira parte:
Já que .
Para a segunda parte:

Passo 6

Agora, juntando tudo:
Sabemos que , então substituindo:

Resposta

A integral dupla resulta em .

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