Calcule a integral:
integral1^4 integral1^2(xy+yx) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que a gente tem aqui: integral1^4 integral1^2(xy+yx) dx, dy. Esse tipo de integral aparece em cálculo multivariável e serve para calcular o volume sob uma superfície definida pela função que estamos integrando. Para resolver, a gente vai precisar saber como fazer integrais simples e depois aplicar isso em duas variáveis, que são o x e o y nesse caso.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral mais interna, que é em relação a x. A função que a gente vai integrar é xy + yx. Lembrando que quando estamos integrando em relação a x, o y é tratado como uma constante. Então, podemos reescrever a integral assim:
integral1^2 (xy + yx) dx

Passo 3

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral1^2 xy, dx + integral1^2 yx, dx
Agora, resolvemos cada uma separadamente.
Para a primeira parte, xy é igual a 1yx. A integral de x em relação a x é 12x^2, então temos:
1y [12x^2]1^2 = 1y (12(2)^2 - 12(1)^2) = 1y (2 - 12) = 1y cdot 32 = 32y
Para a segunda parte, yx é igual a y cdot 1x. A integral de 1x em relação a x é ln|x|, então temos:
y [ln|x|]1^2 = y (ln 2 - ln 1) = y ln 2

Passo 4

Agora, juntando as duas partes, a integral interna fica:
32y + y ln 2
Então, a integral dupla original se transforma em:
integral1^4 (32y + y ln 2) dy

Passo 5

Vamos integrar essa expressão em relação a y. Novamente, separamos as integrais:
32 integral1^4 1y, dy + ln 2 integral1^4 y, dy
A primeira integral é 32 ln y e a segunda é ln 2 cdot 12y^2.
Calculando nos limites de 1 a 4:
Para a primeira parte:
32 (ln 4 - ln 1) = 32 ln 4
Já que ln 1 = 0.
Para a segunda parte:
ln 2 cdot 12 (4)^2 - ln 2 cdot 12 (1)^2 = ln 2 cdot 12 (16 - 1) = ln 2 cdot 152

Passo 6

Agora, juntando tudo:
32 ln 4 + 152 ln 2
Sabemos que ln 4 = 2 ln 2, então substituindo:
32 cdot 2 ln 2 + 152 ln 2 = 3 ln 2 + 152 ln 2 = (3 + 152) ln 2 = 212 ln 2

Resposta

A integral dupla resulta em 212 ln 2.

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