Calcule a integral:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que a gente tem aqui:
. Esse tipo de integral aparece em cálculo multivariável e serve para calcular o volume sob uma superfície definida pela função que estamos integrando. Para resolver, a gente vai precisar saber como fazer integrais simples e depois aplicar isso em duas variáveis, que são o x e o y nesse caso.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral mais interna, que é em relação a x. A função que a gente vai integrar é
. Lembrando que quando estamos integrando em relação a x, o y é tratado como uma constante. Então, podemos reescrever a integral assim:
Passo 3
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Agora, resolvemos cada uma separadamente.
Para a primeira parte,
é igual a
. A integral de
em relação a x é
, então temos:
Para a segunda parte,
é igual a
. A integral de
em relação a x é
, então temos:
Passo 4
Agora, juntando as duas partes, a integral interna fica:
Então, a integral dupla original se transforma em:
Passo 5
Vamos integrar essa expressão em relação a y. Novamente, separamos as integrais:
A primeira integral é
e a segunda é
.
Calculando nos limites de 1 a 4:
Para a primeira parte:
Já que
.
Para a segunda parte:
Passo 6
Agora, juntando tudo:
Sabemos que
, então substituindo:
Resposta
A integral dupla resulta em
.
Exercícios relacionados
A integral
representa o volume de um sólido. Esboce o sólido.
Determine um conjunto de soluçòes fundamentais e a solução geral das seguintes equacooes diferenciais:
Calcule o limite da sequência
Determine se a série é convergente ou divergente.