Determine se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Vamos trabalhar com o conteúdo de séries infinitas e testes de convergência. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, que nos ajuda a verificar se uma série converge ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Esse teste é muito útil quando os termos da série envolvem fatoriais ou exponenciais. A ideia é calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, a série diverge; e se for igual a 1, o teste não nos dá uma resposta definitiva.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série
. Vamos chamar o termo geral da série de
, ou seja,
.
Passo 4
Vamos calcular a razão entre
e
:
Simplificando, temos:
Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando
tende ao infinito:
Passo 5
O limite que encontramos é 0, que é menor que 1. Segundo o Teste da Razão, isso significa que a série converge.
Resposta
A série
é convergente.
Exercícios relacionados
Calcule o limite da sequência
Calcule a integral:
Determine se a série é convergente ou divergente.
Resolva as equações separáveis:
, condição inicial
.