Determine se a série é convergente ou divergente. sumn=1^infty 1(2 n)!

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para determinar se a série é convergente ou divergente. Vamos trabalhar com o conteúdo de séries infinitas e testes de convergência. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, que nos ajuda a verificar se uma série converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Esse teste é muito útil quando os termos da série envolvem fatoriais ou exponenciais. A ideia é calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, a série diverge; e se for igual a 1, o teste não nos dá uma resposta definitiva.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série . Vamos chamar o termo geral da série de , ou seja, .

Passo 4

Vamos calcular a razão entre an+1an = 1(2(n+1))!1(2n)! = (2n)!(2n + 2)! e (2n)!(2n + 2)! = 1(2n + 1)(2n + 2) :
limn to infty 1(2n + 1)(2n + 2) = 0
Simplificando, temos:
Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando tende ao infinito:

Passo 5

O limite que encontramos é 0, que é menor que 1. Segundo o Teste da Razão, isso significa que a série converge.

Resposta

A série é convergente.

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