A integral integral duplaR z d A representa o volume de um sólido. Esboce o sólido.
z=5-x, R=(x, y) in R^2 mid 0 <= x <= 5,0 <= y <= 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que você me mandou pede para esboçar um sólido cujo volume é dado pela integral dupla integral duplaR z , dA. A gente está trabalhando com cálculo multivariável, especificamente integrando sobre uma região no plano XY. Para resolver isso, vamos precisar entender a função que define o sólido, que nesse caso é z = 5 - x, e a região R onde vamos fazer a integração, que está delimitada por 0 <= x <= 5 e 0 <= y <= 3.

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar o que essa função z = 5 - x representa. Ela define um plano inclinado no espaço tridimensional. O valor de z diminui conforme x aumenta, ou seja, o plano desce à medida que nos movemos no eixo x.
Agora, a região R está no eixo XY, sendo um retângulo com x variando de 0 a 5 e y de 0 a 3. Isso significa que nossa base do sólido é esse retângulo no plano XY.
Para esboçar o sólido, precisamos imaginar esse plano z = 5 - x sobreposto à região R. No ponto onde x = 0, z = 5, e quando x = 5, z = 0. Então, o sólido vai de z = 5 até o chão ( z = 0), formando uma espécie de “telhado” inclinado sobre o retângulo.

Passo 3

Vamos detalhar um pouco mais o esboço:
  1. Base do Sólido: É o retângulo no plano XY com vértices em (0,0), (5,0), (5,3) e (0,3).
  2. Topo do Sólido: É definido pelo plano z = 5 - x. Quando x = 0, z = 5, e quando x = 5, z = 0, formando uma inclinação no sentido negativo do eixo x.
  3. Altura: A altura máxima do sólido é 5 unidades no ponto onde x = 0, e decresce linearmente até 0 quando x = 5.
  4. Visualizando: Imagine o retângulo como a base e um telhado inclinado começando alto em x=0 e descendo até o nível do chão em x=5.

Resposta

O sólido é um prisma retangular com uma “tampa” inclinada definida pelo plano z = 5 - x. A base é o retângulo com 0 <= x <= 5 e 0 <= y <= 3, e a superfície superior inclina-se de z = 5 em x = 0 até z = 0 em x = 5. Esse esboço resulta em um volume que se assemelha a um paralelepípedo com uma das faces superiores inclinadas.

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