A integral representa o volume de um sólido. Esboce o sólido.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que você me mandou pede para esboçar um sólido cujo volume é dado pela integral dupla . A gente está trabalhando com cálculo multivariável, especificamente integrando sobre uma região no plano XY. Para resolver isso, vamos precisar entender a função que define o sólido, que nesse caso é , e a região onde vamos fazer a integração, que está delimitada por e .

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar o que essa função representa. Ela define um plano inclinado no espaço tridimensional. O valor de diminui conforme aumenta, ou seja, o plano desce à medida que nos movemos no eixo .
Agora, a região está no eixo XY, sendo um retângulo com variando de 0 a 5 e de 0 a 3. Isso significa que nossa base do sólido é esse retângulo no plano XY.
Para esboçar o sólido, precisamos imaginar esse plano sobreposto à região . No ponto onde , , e quando , . Então, o sólido vai de até o chão ( ), formando uma espécie de “telhado” inclinado sobre o retângulo.

Passo 3

Vamos detalhar um pouco mais o esboço:
  1. Base do Sólido: É o retângulo no plano XY com vértices em (0,0), (5,0), (5,3) e (0,3).
  2. Topo do Sólido: É definido pelo plano . Quando , , e quando , , formando uma inclinação no sentido negativo do eixo .
  3. Altura: A altura máxima do sólido é 5 unidades no ponto onde , e decresce linearmente até 0 quando .
  4. Visualizando: Imagine o retângulo como a base e um telhado inclinado começando alto em e descendo até o nível do chão em .

Resposta

O sólido é um prisma retangular com uma “tampa” inclinada definida pelo plano . A base é o retângulo com e , e a superfície superior inclina-se de em até em . Esse esboço resulta em um volume que se assemelha a um paralelepípedo com uma das faces superiores inclinadas.

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