A integral
representa o volume de um sólido. Esboce o sólido.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que você me mandou pede para esboçar um sólido cujo volume é dado pela integral dupla
. A gente está trabalhando com cálculo multivariável, especificamente integrando sobre uma região no plano XY. Para resolver isso, vamos precisar entender a função que define o sólido, que nesse caso é
, e a região
onde vamos fazer a integração, que está delimitada por
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos interpretar o que essa função
representa. Ela define um plano inclinado no espaço tridimensional. O valor de
diminui conforme
aumenta, ou seja, o plano desce à medida que nos movemos no eixo
.
Agora, a região
está no eixo XY, sendo um retângulo com
variando de 0 a 5 e
de 0 a 3. Isso significa que nossa base do sólido é esse retângulo no plano XY.
Para esboçar o sólido, precisamos imaginar esse plano
sobreposto à região
. No ponto onde
,
, e quando
,
. Então, o sólido vai de
até o chão (
), formando uma espécie de “telhado” inclinado sobre o retângulo.
Passo 3
Vamos detalhar um pouco mais o esboço:
- Base do Sólido: É o retângulo no plano XY com vértices em (0,0), (5,0), (5,3) e (0,3).
- Topo do Sólido: É definido pelo plano
. Quando , , e quando , , formando uma inclinação no sentido negativo do eixo . - Altura: A altura máxima do sólido é 5 unidades no ponto onde
, e decresce linearmente até 0 quando . - Visualizando: Imagine o retângulo como a base e um telhado inclinado começando alto em
e descendo até o nível do chão em .
Resposta
O sólido é um prisma retangular com uma “tampa” inclinada definida pelo plano
. A base é o retângulo com
e
, e a superfície superior inclina-se de
em
até
em
. Esse esboço resulta em um volume que se assemelha a um paralelepípedo com uma das faces superiores inclinadas.
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