Calcule o limite da sequência
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência que começa com
, depois
, depois
e assim por diante. O que a gente precisa fazer é descobrir qual valor essa sequência está se aproximando quando a gente continua indefinidamente. Pra resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades de radicais.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar o limite que a sequência converge de
. Assim, podemos escrever que:
Perceba que, dentro da raiz quadrada, temos novamente a própria sequência. Então, podemos substituir essa parte por
também:
Passo 3
Agora, nossa equação ficou:
Para resolver essa equação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 4
Simplificando a equação:
Fatorando:
Passo 5
As soluções dessa equação são
ou
. Mas vamos pensar: a sequência começa com
, que é maior que zero, e cada termo seguinte também é uma raiz quadrada de algo positivo, então
não pode ser zero. Logo, a única solução viável é
.
Resposta
O limite da sequência é
.
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representa o volume de um sólido. Esboce o sólido.
Determine se a série é convergente ou divergente.
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