Calcule o limite da sequência

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência que começa com , depois , depois e assim por diante. O que a gente precisa fazer é descobrir qual valor essa sequência está se aproximando quando a gente continua indefinidamente. Pra resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades de radicais.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar o limite que a sequência converge de . Assim, podemos escrever que:
Perceba que, dentro da raiz quadrada, temos novamente a própria sequência. Então, podemos substituir essa parte por também:

Passo 3

Agora, nossa equação ficou:
Para resolver essa equação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 4

Simplificando a equação:
Fatorando:

Passo 5

As soluções dessa equação são ou . Mas vamos pensar: a sequência começa com , que é maior que zero, e cada termo seguinte também é uma raiz quadrada de algo positivo, então não pode ser zero. Logo, a única solução viável é .

Resposta

O limite da sequência é .

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Determine se a série é convergente ou divergente.
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