Determine um conjunto de soluçòes fundamentais e a solução geral das seguintes equacooes diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
, onde
. Esse tipo de equação é conhecida como equação de Cauchy-Euler, que é um tipo especial de equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar usar técnicas específicas para equações de Cauchy-Euler, que envolvem assumir uma solução da forma
e encontrar os valores de
que satisfazem a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução tem a forma
. A ideia aqui é substituir essa forma na equação original para encontrar o valor de
.
Passo 3
Calculando as derivadas de
:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
Passo 4
Agora, substituímos
,
e
na equação original:
Simplificando os termos:
Passo 5
Fatorando
da equação:
Como
nunca é zero para
, podemos igualar a parte dentro dos colchetes a zero:
Passo 6
Resolvendo a equação quadrática para
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, temos uma raiz dupla
.
Passo 7
Quando a equação característica tem raízes repetidas, as soluções fundamentais são:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
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