Determine um conjunto de soluçòes fundamentais e a solução geral das seguintes equacooes diferenciais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: , onde . Esse tipo de equação é conhecida como equação de Cauchy-Euler, que é um tipo especial de equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar usar técnicas específicas para equações de Cauchy-Euler, que envolvem assumir uma solução da forma e encontrar os valores de que satisfazem a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução tem a forma . A ideia aqui é substituir essa forma na equação original para encontrar o valor de .

Passo 3

Calculando as derivadas de :
  • Primeira derivada:
  • Segunda derivada:

Passo 4

Agora, substituímos , e na equação original:
Simplificando os termos:

Passo 5

Fatorando da equação:
Como nunca é zero para , podemos igualar a parte dentro dos colchetes a zero:

Passo 6

Resolvendo a equação quadrática para :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, temos uma raiz dupla .

Passo 7

Quando a equação característica tem raízes repetidas, as soluções fundamentais são:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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