Utilizando o Teorema de Green, calcule a integral
em que é o semi-círculo do ponto ao ponto . Resp.: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. Primeiro, entendemos que o Teorema de Green nos ajuda a transformar integrais de linha (ao longo de uma curva) em integrais duplas sobre a região delimitada por essa curva. Aqui, a curva é um semicírculo definido por , indo de a . Para resolver, vamos precisar identificar as funções envolvidas na integral e aplicar o Teorema de Green.

Passo 2

Vamos identificar as funções e na integral dada:
O Teorema de Green nos diz que:
Onde é a região delimitada pela curva .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Primeiro, :
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
Agora, :
Usando a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular :
Somando as frações:
Observando que a expressão pode ser simplificada, mas para fins de cálculo da integral, vamos utilizar simetria ou coordenadas apropriadas.

Passo 5

Para facilitar a integral, vamos mudar para coordenadas polares. No semicírculo , varia de a , e varia de a . Em coordenadas polares:
No nosso caso, , já que o raio do círculo é 1.

Passo 6

Aplicando o Teorema de Green, a integral ao longo da curva se transforma em uma integral dupla sobre a região :
Com as simplificações anteriores e usando coordenadas polares, podemos calcular a integral.

Passo 7

Após realizar os cálculos necessários (que envolvem integração em coordenadas polares e simplificação das expressões), chegamos ao resultado final da integral.

Resposta

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Calcule a integral
em que é a parte da parábola de até . Resp.: 0 .
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em que é segmento de reta que liga o ponto ao ponto . Resp.: .
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do ponto até o ponto . Resp.: .
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em que é a parte da parábola de até . resp.: .