Calcule a integral
em que
é a parte da parábola
, de
até
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha sobre uma curva
que é parte da parábola
, indo do ponto
até
. Isso envolve cálculo de integrais de linha, que é um assunto dentro de Cálculo Vetorial. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a curva
e então integrar a função ao longo dessa curva usando a parametrização.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. A curva é dada pela equação
, e queremos ir de
até
. Então, vamos usar
como nosso parâmetro.
Parametrização:
onde
varia de
a
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas de
e
em relação ao parâmetro
, que são necessárias para substituir na integral.
Cálculo das derivadas:
Passo 4
Vamos substituir tudo na integral original. A integral dada é:
Substituindo
,
, e
:
Simplificando:
Passo 5
Vamos integrar cada termo separadamente.
-
Integral de
: Faça uma substituição:, então . Porém, não temos aqui, então essa integral não tem uma antiderivada elementar fácil. Mas observando o intervalo simétrico de a e que é uma função ímpar (pois é par e é ímpar), a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero. -
Integral de
: -
Integral de
:
Passo 6
Agora, somamos os resultados das integrais:
Resposta
A integral vale 2.
Exercícios relacionados
Seja
a região circular do plano, cujo bordo é a circunferência
com equação
. Considere uma função contínua
cujas derivadas são contínuas. Escreva
como uma integral dupla sobre a região
.
Calcular
, onde T é a região acima do plano xy delimitada por
e
.
Sejam
o círculo
e
a elipse
, ambos orientados no sentido anti-horário. Considere os campos:
(a) Use o teorema de Green para mostrar que
. (b) Use o teorema de Green para calcular
. © Mostre que $\int_{C} \vec{G} \cdot d \vec{r}=\int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r} e conclua que
.
Dizemos que um campo
tem simetria de rotação de
quando
. Sejam
os arcos do círculo
contidos no primeiro, segundo, terceiro e quarto quadrante, respectivamente. Suponha que as curvas estão orientadas no sentido anti-horário. Calcule