Calcule a integral em que é a parte da parábola , de até .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha sobre uma curva que é parte da parábola , indo do ponto até . Isso envolve cálculo de integrais de linha, que é um assunto dentro de Cálculo Vetorial. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a curva e então integrar a função ao longo dessa curva usando a parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . A curva é dada pela equação , e queremos ir de até . Então, vamos usar como nosso parâmetro.
Parametrização:
onde varia de a .

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas de e em relação ao parâmetro , que são necessárias para substituir na integral.
Cálculo das derivadas:

Passo 4

Vamos substituir tudo na integral original. A integral dada é:
Substituindo , , e :
Simplificando:

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente.
  1. Integral de :
    Faça uma substituição: , então . Porém, não temos aqui, então essa integral não tem uma antiderivada elementar fácil. Mas observando o intervalo simétrico de a e que é uma função ímpar (pois é par e é ímpar), a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero.
  2. Integral de :
  3. Integral de :

Passo 6

Agora, somamos os resultados das integrais:

Resposta

A integral vale 2.

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