Calcule a integral integralC(e^x^2+2 x y) d x+(x^2+cos pi y) d y em que C é a parte da parábola x=y^2, de (1,-1) até (1,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha sobre uma curva que é parte da parábola , indo do ponto até . Isso envolve cálculo de integrais de linha, que é um assunto dentro de Cálculo Vetorial. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a curva e então integrar a função ao longo dessa curva usando a parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva x(y) = y^2 y(y) = y . A curva é dada pela equação , e queremos ir de até . Então, vamos usar como nosso parâmetro.
Parametrização:
onde varia de a .

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas de dxdy = 2y dydy = 1 e em relação ao parâmetro , que são necessárias para substituir na integral.
Cálculo das derivadas:

Passo 4

Vamos substituir tudo na integral original. A integral dada é:
integralC(e^x^2 + 2xy) dx + (x^2 + cos(pi y)) dy
Substituindo integral-1^1 (e^(y^2)^2 + 2 cdot y^2 cdot y) cdot 2y , dy + ((y^2)^2 + cos(pi y)) cdot 1 , dy , integral-1^1 (e^y^4 + 2y^3) cdot 2y + (y^4 + cos(pi y)) , dy , e = integral-1^1 (2y e^y^4 + 4y^4 + y^4 + cos(pi y)) , dy :
= integral-1^1 (2y e^y^4 + 5y^4 + cos(pi y)) , dy
Simplificando:

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente.
  1. Integral de integral-1^1 2y e^y^4 , dy = 0 :
    Faça uma substituição: integral-1^1 5y^4 , dy = 5 [ y^55 ]-1^1 = [ y^5 ]-1^1 = (1)^5 - (-1)^5 = 1 - (-1) = 2 , então integral-1^1 cos(pi y) , dy = [ sin(pi y)pi ]-1^1 = sin(pi cdot 1) - sin(pi cdot (-1))pi = 0 - 0pi = 0 . Porém, não temos aqui, então essa integral não tem uma antiderivada elementar fácil. Mas observando o intervalo simétrico de a e que é uma função ímpar (pois é par e é ímpar), a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero.
  2. Integral de :
  3. Integral de :

Passo 6

Agora, somamos os resultados das integrais:
0 + 2 + 0 = 2

Resposta

A integral vale 2.

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