Calcule a integral
em que
é a parte da parábola
, de
até
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha sobre uma curva
que é parte da parábola
, indo do ponto
até
. Isso envolve cálculo de integrais de linha, que é um assunto dentro de Cálculo Vetorial. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a curva
e então integrar a função ao longo dessa curva usando a parametrização.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. A curva é dada pela equação
, e queremos ir de
até
. Então, vamos usar
como nosso parâmetro.
Parametrização:
onde
varia de
a
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas de
e
em relação ao parâmetro
, que são necessárias para substituir na integral.
Cálculo das derivadas:
Passo 4
Vamos substituir tudo na integral original. A integral dada é:
Substituindo
,
, e
:
Simplificando:
Passo 5
Vamos integrar cada termo separadamente.
-
Integral de
: Faça uma substituição:, então . Porém, não temos aqui, então essa integral não tem uma antiderivada elementar fácil. Mas observando o intervalo simétrico de a e que é uma função ímpar (pois é par e é ímpar), a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero. -
Integral de
: -
Integral de
:
Passo 6
Agora, somamos os resultados das integrais:
Resposta
A integral vale 2.