Dizemos que um campo F(x, y)=(P(x, y), Q(x, y)) tem simetria de rotação de 90^circ quando F(-y, x)= (-Q(x, y), P(x, y)). Sejam C1, C2, C3, C4 os arcos do círculo C: x^2+y^2=1 contidos no primeiro, segundo, terceiro e quarto quadrante, respectivamente. Suponha que as curvas estão orientadas no sentido anti-horário. Calcule integralC1-x^2 y d x+x y^2 d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular uma integral de linha, especificamente , onde é o arco do círculo que está no primeiro quadrante. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integração de campos vetoriais. Vamos precisar entender como parametrizar o arco do primeiro quadrante e como aplicar a fórmula da integral de linha para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva x(theta) = cos(theta) . Como y(theta) = sin(theta) é o círculo unitário , podemos usar coordenadas polares para facilitar. No primeiro quadrante, o ângulo varia de a . Então, a parametrização fica:
Aqui, representa o ângulo desde o eixo positivo até o ponto na circunferência.

Passo 3

Agora, precisamos expressar dxdtheta = -sin(theta) implies dx = -sin(theta) , dtheta e dydtheta = cos(theta) implies dy = cos(theta) , dtheta em termos de . Vamos derivar e em relação a :

Passo 4

Substituímos integralC1 -x^2 y , dx + x y^2 , dy = integral0^pi2 [ -(cos^2theta)(sintheta)(-sintheta) + (costheta)(sin^2theta)(costheta) ] dtheta , - x^2 y , dx = -(cos^2theta)(sintheta)(-sintheta) = cos^2theta sin^2theta , x y^2 , dy = (costheta)(sin^2theta)(costheta) = cos^2theta sin^2theta e integral0^pi2 [ cos^2theta sin^2theta + cos^2theta sin^2theta ] dtheta = integral0^pi2 2cos^2theta sin^2theta , dtheta na integral original:
Simplificando cada termo dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 5

Para resolver a integral sin^2theta = 1 - cos(2theta)2 , podemos usar uma identidade trigonométrica para simplificar. Sabemos que:
cos^2theta = 1 + cos(2theta)2
2 cos^2theta sin^2theta = 2 ( 1 + cos(2theta)2 ) ( 1 - cos(2theta)2 ) = 2(1 - cos^2(2theta))4 = 1 - cos^2(2theta)2
Então, substituindo na integral:
1 - cos^2(2theta)2 = 1 - 1 + cos(4theta)22 = 1 - cos(4theta)22 = 1 - cos(4theta)4
E sabemos que , então:

Passo 6

Agora, a integral fica:
integral0^pi2 1 - cos(4theta)4 , dtheta = 14 integral0^pi2 (1 - cos(4theta)) , dtheta
Integrando termo a termo:
14 [ integral0^pi2 1 , dtheta - integral0^pi2 cos(4theta) , dtheta ] = 14 [ theta - sin(4theta)4 ]0^pi2

Passo 7

Avaliando nos limites:
Para theta = pi2, sin(4theta) = sin(2pi) = 0 :
theta = 0, sin(0) = 0
Para 14 [ ( pi2 - 0 ) - 0 - 04 ] = 14 cdot pi2 = pi8 :
Portanto:

Resposta

pi8

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