Dizemos que um campo
tem simetria de rotação de
quando
. Sejam
os arcos do círculo
contidos no primeiro, segundo, terceiro e quarto quadrante, respectivamente. Suponha que as curvas estão orientadas no sentido anti-horário. Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular uma integral de linha, especificamente
, onde
é o arco do círculo
que está no primeiro quadrante. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integração de campos vetoriais. Vamos precisar entender como parametrizar o arco do primeiro quadrante e como aplicar a fórmula da integral de linha para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Como
é o círculo unitário
, podemos usar coordenadas polares para facilitar. No primeiro quadrante, o ângulo
varia de
a
. Então, a parametrização fica:
Aqui,
representa o ângulo desde o eixo positivo
até o ponto
na circunferência.
Passo 3
Agora, precisamos expressar
e
em termos de
. Vamos derivar
e
em relação a
:
Passo 4
Substituímos
,
,
e
na integral original:
Simplificando cada termo dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 5
Para resolver a integral
, podemos usar uma identidade trigonométrica para simplificar. Sabemos que:
Então, substituindo na integral:
E sabemos que
, então:
Passo 6
Agora, a integral fica:
Integrando termo a termo:
Passo 7
Avaliando nos limites:
Para
:
Para
:
Portanto: