Sejam o círculo e a elipse , ambos orientados no sentido anti-horário. Considere os campos: (a) Use o teorema de Green para mostrar que . (b) Use o teorema de Green para calcular . © Mostre que $\int_{C} \vec{G} \cdot d \vec{r}=\int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r} e conclua que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dois caminhos fechados: um círculo de raio 1, chamado , e uma elipse, chamada . Ambos estão desenhados no sentido anti-horário, que é o sentido padrão para aplicar o Teorema de Green. A gente vai trabalhar com dois campos vetoriais, e , que são funções que associam um vetor a cada ponto no plano. Nosso objetivo é usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha ao redor de curvas fechadas com integrais duplas sobre as áreas delimitadas por essas curvas. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green e calcular integrais de campos vetoriais.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). Queremos mostrar que a integral de ao longo da elipse é igual à integral de ao longo do círculo . O Teorema de Green diz que:
Onde . No nosso caso, para ambos e , a área é a mesma já que ambas as curvas cercam o mesmo espaço sem “buracos”. Além disso, as divergências das derivadas parciais de serão iguais para ambas as curvas. Portanto, as integrais de linha sobre e serão iguais.

Passo 3

Agora vamos para a parte (b). Queremos calcular usando o Teorema de Green. Primeiro, identificamos , então e . Aplicando o Teorema de Green:
Calculando as derivadas parciais:
Então:
Á
Como é o círculo unitário, sua área é , então:

Passo 4

Agora, na parte ©, queremos mostrar que . Já vimos que . Além disso, pela parte (a), sabemos que . Como e têm propriedades semelhantes no contexto do Teorema de Green, concluímos que:

Resposta

Exercícios relacionados

Calcule a integral em que é a parte da parábola , de até .
Seja a região circular do plano, cujo bordo é a circunferência com equação . Considere uma função contínua cujas derivadas são contínuas. Escreva como uma integral dupla sobre a região .
Dizemos que um campo tem simetria de rotação de quando . Sejam os arcos do círculo contidos no primeiro, segundo, terceiro e quarto quadrante, respectivamente. Suponha que as curvas estão orientadas no sentido anti-horário. Calcule
Seja a região circular do plano, cujo bordo é a circunferência com equação . Considere uma função contínua cujas derivadas são contínuas. Encontre de forma que é a massa de com densidade .