Sejam C o círculo x^2+y^2=1 e E a elipse 4 x^2+9 y^2=1, ambos orientados no sentido anti-horário. Considere os campos: F(x, y)=(-yx^2+y^2, xx^2+y^2), G(x, y)=(-y, x) (a) Use o teorema de Green para mostrar que integralE F d cdot r=integralC F d cdot r. (b) Use o teorema de Green para calcular integralC G cdot d r. © Mostre que $\int_{C} \vec{G} \cdot d \vec{r}=\int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r} e conclua que integralC G cdot d r=integralC F cdot d r e conclua que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dois caminhos fechados: um círculo de raio 1, chamado , e uma elipse, chamada . Ambos estão desenhados no sentido anti-horário, que é o sentido padrão para aplicar o Teorema de Green. A gente vai trabalhar com dois campos vetoriais, e , que são funções que associam um vetor a cada ponto no plano. Nosso objetivo é usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha ao redor de curvas fechadas com integrais duplas sobre as áreas delimitadas por essas curvas. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green e calcular integrais de campos vetoriais.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). Queremos mostrar que a integral de ointpartial D F cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx,dy ao longo da elipse é igual à integral de ao longo do círculo . O Teorema de Green diz que:
Onde . No nosso caso, para ambos e , a área é a mesma já que ambas as curvas cercam o mesmo espaço sem “buracos”. Além disso, as divergências das derivadas parciais de serão iguais para ambas as curvas. Portanto, as integrais de linha sobre e serão iguais.

Passo 3

Agora vamos para a parte (b). Queremos calcular ointC G cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx,dy usando o Teorema de Green. Primeiro, identificamos partial Qpartial x = 1 e partial Ppartial y = -1 , então integral duplaD (1 - (-1)) dx,dy = integral duplaD 2,dx,dy = 2 times Área de D e ointC G cdot dr = 2pi . Aplicando o Teorema de Green:
Calculando as derivadas parciais:
Então:
Á
Como é o círculo unitário, sua área é , então:

Passo 4

Agora, na parte ©, queremos mostrar que ointC F cdot dr = 2pi . Já vimos que . Além disso, pela parte (a), sabemos que . Como e têm propriedades semelhantes no contexto do Teorema de Green, concluímos que:

Resposta

ointC F cdot dr = 2pi

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