Calcule o trabalho realizado pelo campo
para mover uma partícula ao longo da curva dada por
do ponto
até o ponto
. Resp.:
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial
e precisamos calcular o trabalho realizado por esse campo ao mover uma partícula ao longo de uma curva definida por
, onde
, indo do ponto
até o ponto
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de trabalho em campos vetoriais, que envolve integrar o campo vetorial ao longo da trajetória.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Essa é a equação de uma elipse. Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 36:
Dessa forma, sabemos que os semi-eixos da elipse são
(para
) e
(para
). Podemos parametrizar a elipse usando o parâmetro
:
Como
,
varia de
a
.
Passo 3
Agora, encontramos as derivadas de
e
em relação a
para determinar os diferenciais
e
:
Portanto:
Passo 4
Vamos expressar o campo vetorial
em termos de
usando a parametrização:
Substituindo
e
:
Então:
Passo 5
O trabalho realizado pelo campo ao longo da curva é dado por:
Onde
. Substituindo:
Passo 6
Simplificando a expressão dentro da integral:
Combinando os termos:
Passo 7
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja
, então
. Ajustando os limites:
- Quando
, . - Quando
, .
A integral fica:
Passo 8
Agora, vamos integrar termo a termo: