Calcule o trabalho realizado pelo campo F(x, y) = x(x^2 + y^2) i + y(x^2 + y^2) j para mover uma partícula ao longo da curva dada por
9x² + 4y² = 36, x ≥ 0
do ponto 2,0 até o ponto 0,3. Resp.: 65/4.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial e precisamos calcular o trabalho realizado por esse campo ao mover uma partícula ao longo de uma curva definida por , onde x >= 0, indo do ponto 2,0 até o ponto 0,3. Para resolver isso, vamos usar o conceito de trabalho em campos vetoriais, que envolve integrar o campo vetorial ao longo da trajetória.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . Essa é a equação de uma elipse. Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 36:
Dessa forma, sabemos que os semi-eixos da elipse são (para x) e (para y). Podemos parametrizar a elipse usando o parâmetro theta:
Como x >= 0, theta varia de 0 a pi / 2.

Passo 3

Agora, encontramos as derivadas de x e y em relação a theta para determinar os diferenciais e :
Portanto:

Passo 4

Vamos expressar o campo vetorial F(x, y) em termos de theta usando a parametrização:
Substituindo x e y:
Então:

Passo 5

O trabalho realizado pelo campo ao longo da curva é dado por:
Onde . Substituindo:

Passo 6

Simplificando a expressão dentro da integral:
Combinando os termos:

Passo 7

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja , então . Ajustando os limites:
  • Quando , .
  • Quando , .
A integral fica:

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:

Resposta

65/4

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