Calcule o trabalho realizado pelo campo para mover uma partícula ao longo da curva dada por
do ponto até o ponto . Resp.: .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial e precisamos calcular o trabalho realizado por esse campo ao mover uma partícula ao longo de uma curva definida por , onde , indo do ponto até o ponto . Para resolver isso, vamos usar o conceito de trabalho em campos vetoriais, que envolve integrar o campo vetorial ao longo da trajetória.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva . Essa é a equação de uma elipse. Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 36:
Dessa forma, sabemos que os semi-eixos da elipse são (para ) e (para ). Podemos parametrizar a elipse usando o parâmetro :
Como , varia de a .
Passo 3
Agora, encontramos as derivadas de e em relação a para determinar os diferenciais e :
Portanto:
Passo 4
Vamos expressar o campo vetorial em termos de usando a parametrização:
Substituindo e :
Então:
Passo 5
O trabalho realizado pelo campo ao longo da curva é dado por:
Onde . Substituindo:
Passo 6
Simplificando a expressão dentro da integral:
Combinando os termos:
Passo 7
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja , então . Ajustando os limites: