Calcule o trabalho realizado pelo campo para mover uma partícula ao longo da curva dada por
do ponto até o ponto . Resp.: .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial e precisamos calcular o trabalho realizado por esse campo ao mover uma partícula ao longo de uma curva definida por , onde , indo do ponto até o ponto . Para resolver isso, vamos usar o conceito de trabalho em campos vetoriais, que envolve integrar o campo vetorial ao longo da trajetória.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . Essa é a equação de uma elipse. Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 36:
Dessa forma, sabemos que os semi-eixos da elipse são (para ) e (para ). Podemos parametrizar a elipse usando o parâmetro :
Como , varia de a .

Passo 3

Agora, encontramos as derivadas de e em relação a para determinar os diferenciais e :
Portanto:

Passo 4

Vamos expressar o campo vetorial em termos de usando a parametrização:
Substituindo e :
Então:

Passo 5

O trabalho realizado pelo campo ao longo da curva é dado por:
Onde . Substituindo:

Passo 6

Simplificando a expressão dentro da integral:
Combinando os termos:

Passo 7

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja , então . Ajustando os limites:
  • Quando , .
  • Quando , .
A integral fica:

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:

Resposta

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em que é o semi-círculo do ponto ao ponto . Resp.: .
Calcule a integral
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em que é a parte da parábola de até . resp.: .
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em que é a parte da cuva que liga o ponto ao ponto (1,1). Resp.: .