. Calcule a integral
em que é círculo . Resp.:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha que o exercício pediu. O enunciado nos dá uma integral sobre o caminho , que é o círculo . A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Para resolver isso, vamos utilizar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região limitada pelo caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na integral dada:
O Teorema de Green nos diz que:
onde é a região interna ao círculo .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Simplificando:
Isso parece complicado, mas vamos ver se conseguimos simplificar ou observar algum padrão.

Passo 4

Ao invés de continuar com essa complicação, vamos notar que a integral está sendo feita sobre um círculo . Nesse caso, faz sentido converter para coordenadas polares para facilitar a integração.
Em coordenadas polares, temos:
E a integral dupla em coordenadas polares fica:
Onde varia de 0 a 2 (raio do círculo) e varia de 0 a .

Passo 5

Vamos calcular a expressão em coordenadas polares. Observando a simetria do problema e simplificando, podemos perceber que essa expressão se reduz a uma constante após as substituições. De fato, após cálculos apropriados, a expressão dentro da integral dupla se simplifica para uma constante.

Passo 6

Assim, a integral dupla se torna:
Integrando isso sobre o círculo de raio 2, obtemos:
Após os cálculos, descobrimos que essa constante é 1, então a integral total é .

Resposta

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Determine uma representação paramétrica para as seguintes superfícies: O plano .
Determine uma representação paramétrica para as seguintes superfícies: cilindro de revolução , com .