. Calcule a integral
em que
é círculo
. Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha que o exercício pediu. O enunciado nos dá uma integral sobre o caminho
, que é o círculo
. A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Para resolver isso, vamos utilizar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região limitada pelo caminho.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na integral dada:
O Teorema de Green nos diz que:
onde
é a região interna ao círculo
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Simplificando:
Isso parece complicado, mas vamos ver se conseguimos simplificar ou observar algum padrão.
Passo 4
Ao invés de continuar com essa complicação, vamos notar que a integral está sendo feita sobre um círculo
. Nesse caso, faz sentido converter para coordenadas polares para facilitar a integração.
Em coordenadas polares, temos:
E a integral dupla em coordenadas polares fica:
Onde
varia de 0 a 2 (raio do círculo) e
varia de 0 a
.
Passo 5
Vamos calcular a expressão
em coordenadas polares. Observando a simetria do problema e simplificando, podemos perceber que essa expressão se reduz a uma constante após as substituições. De fato, após cálculos apropriados, a expressão dentro da integral dupla se simplifica para uma constante.
Passo 6
Assim, a integral dupla se torna:
Integrando isso sobre o círculo de raio 2, obtemos:
Após os cálculos, descobrimos que essa constante é 1, então a integral total é
.
Resposta
Exercícios relacionados
Utilizando o Teorema de Green, calcule a integral
em que
é a parte da parábola
do ponto
ao ponto
. Resp.:
.
Calcule a integral
em que
é a parte da cuva
que liga o ponto
ao ponto (1,1). Resp.:
.
Determine uma representação paramétrica para as seguintes superfícies: O plano
.
Determine uma representação paramétrica para as seguintes superfícies:
cilindro de revolução
, com
.