Determine uma representação paramétrica para as seguintes superfícies: O plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar uma representação paramétrica para a superfície que é o plano . Isso significa que vamos usar parâmetros para descrever todos os pontos que formam esse plano. Para isso, vamos precisar entender o que é uma representação paramétrica e como aplicá-la a planos.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre representação paramétrica. Basicamente, é uma forma de descrever uma superfície usando duas variáveis, que geralmente chamamos de e (ou e ). Essas variáveis servem como “parametrizadores” para determinar a posição de qualquer ponto na superfície.

Passo 3

Agora, vamos pensar no plano . Esse plano é onde o valor de é sempre zero. Ou seja, todos os pontos nesse plano têm a forma . Queremos expressar e em termos dos parâmetros e .

Passo 4

Vamos atribuir os parâmetros e diretamente às coordenadas e . Assim:
Como já sabemos que no plano , não precisamos de um parâmetro para .

Passo 5

Agora, juntando tudo, a representação paramétrica fica:
Isso significa que para qualquer valor de e , a posição estará no plano .

Resposta

A representação paramétrica para o plano é:
onde e são parâmetros que variam livremente.

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