Determine uma representação paramétrica para as seguintes superfícies: O cilindro de revolução x^2 + z^2 = a^2, com a > 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar uma representação paramétrica para um cilindro de revolução dado pela equação , onde a é um número positivo. Isso envolve entender como descrever uma superfície tridimensional usando parâmetros, algo comum em geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma representação paramétrica utiliza parâmetros, geralmente chamados de u e v, para expressar as coordenadas x, y e z em função desses parâmetros. No caso de um cilindro de revolução, podemos pensar em rotacionar uma curva em torno de um eixo para formar o cilindro.

Passo 3

Observando a equação , vemos que é a equação de um círculo no plano . Isso significa que, para cada valor de y, temos um círculo de raio a na direção x e z. Portanto, o cilindro se estende infinitamente ao longo do eixo y.

Passo 4

Para parametrizar essa superfície, podemos usar ângulos para descrever a posição no círculo e uma variável para se mover ao longo do eixo y. Vamos definir o parâmetro u como o ângulo que descreve a posição no círculo e v como a coordenada ao longo do eixo y.

Passo 5

Usando trigonometria, sabemos que as coordenadas x e z em um círculo de raio a podem ser descritas por:
Aqui, u varia de 0 a para cobrir todo o círculo.

Passo 6

A coordenada y pode ser igualada ao parâmetro v, que pode assumir qualquer valor real, já que o cilindro se estende infinitamente nessa direção:

Passo 7

Juntando tudo, a representação paramétrica do cilindro é dada por:
onde e .

Resposta

A representação paramétrica do cilindro é:
com e v real.

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