Determine uma representação paramétrica para as seguintes superfícies: cilindro de revolução , com .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar uma representação paramétrica para um cilindro de revolução dado pela equação , onde é um número positivo. Isso envolve entender como descrever uma superfície tridimensional usando parâmetros, algo comum em geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma representação paramétrica utiliza parâmetros, geralmente chamados de e , para expressar as coordenadas , e em função desses parâmetros. No caso de um cilindro de revolução, podemos pensar em rotacionar uma curva em torno de um eixo para formar o cilindro.

Passo 3

Observando a equação , vemos que é a equação de um círculo no plano . Isso significa que, para cada valor de , temos um círculo de raio na direção e . Portanto, o cilindro se estende infinitamente ao longo do eixo .

Passo 4

Para parametrizar essa superfície, podemos usar ângulos para descrever a posição no círculo e uma variável para se mover ao longo do eixo . Vamos definir o parâmetro como o ângulo que descreve a posição no círculo e como a coordenada ao longo do eixo .

Passo 5

Usando trigonometria, sabemos que as coordenadas e em um círculo de raio podem ser descritas por:
Aqui, varia de a para cobrir todo o círculo.

Passo 6

A coordenada pode ser igualada ao parâmetro , que pode assumir qualquer valor real, já que o cilindro se estende infinitamente nessa direção:

Passo 7

Juntando tudo, a representação paramétrica do cilindro é dada por:
onde e .

Resposta

A representação paramétrica do cilindro é:
com e real.

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Determine uma representação paramétrica para as seguintes superfícies: O plano .
. Calcule a integral
em que é círculo . Resp.:
Determine a representação cartesiana das seguintes superfícies: O elipsoide .
Determine a representação cartesiana das seguintes superfícies: O hiperboloide .