Determine uma representação paramétrica para as seguintes superfícies: cilindro de revolução , com .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar uma representação paramétrica para um cilindro de revolução dado pela equação , onde é um número positivo. Isso envolve entender como descrever uma superfície tridimensional usando parâmetros, algo comum em geometria analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma representação paramétrica utiliza parâmetros, geralmente chamados de e , para expressar as coordenadas , e em função desses parâmetros. No caso de um cilindro de revolução, podemos pensar em rotacionar uma curva em torno de um eixo para formar o cilindro.
Passo 3
Observando a equação , vemos que é a equação de um círculo no plano . Isso significa que, para cada valor de , temos um círculo de raio na direção e . Portanto, o cilindro se estende infinitamente ao longo do eixo .
Passo 4
Para parametrizar essa superfície, podemos usar ângulos para descrever a posição no círculo e uma variável para se mover ao longo do eixo . Vamos definir o parâmetro como o ângulo que descreve a posição no círculo e como a coordenada ao longo do eixo .
Passo 5
Usando trigonometria, sabemos que as coordenadas e em um círculo de raio podem ser descritas por:
Aqui, varia de a para cobrir todo o círculo.
Passo 6
A coordenada pode ser igualada ao parâmetro , que pode assumir qualquer valor real, já que o cilindro se estende infinitamente nessa direção:
Passo 7
Juntando tudo, a representação paramétrica do cilindro é dada por: