em que é a parte da parábola do ponto ao ponto . Resp.: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral é:
Onde é a parte da parábola que vai do ponto ao ponto . Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo para transformar a integral de linha em uma integral dupla, que geralmente é mais fácil de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. A fórmula do Teorema de Green é:
Onde e são funções contínuas com derivadas parciais contínuas na região delimitada por .
Passo 3
No nosso caso, identificamos:
Precisamos calcular as derivadas parciais e .
Passo 4
Vamos calcular :
Usando a regra do quociente:
Passo 5
Agora, vamos calcular :
Também usando a regra do quociente:
Passo 6
Agora aplicamos o Teorema de Green:
Simplificando:
Passo 7
Observando a região , que é a área abaixo da parábola entre e , podemos mudar para coordenadas que simplifiquem o denominador . Vamos usar coordenadas elípticas:
Então, .
Passo 8
Com essa mudança de variável, o Jacobiano da transformação é:
Isso significa que .
Passo 9
Substituindo na integral dupla:
Isso simplifica para:
Passo 10
Ainda simplificando a expressão:
Podemos notar que a integral sobre uma região simétrica para termos ímpares (como ) será zero, restando:
Passo 11
Finalmente, resolvendo a integral, levando em conta as simetrias e propriedades das funções, chegamos ao resultado: