Utilizando o Teorema de Green, calcule a integral
integralC x^2-1x^2+4 y^2 d x+xx^2+4 y^2 d y
em que C é a parte da parábola y=1-x^2 do ponto (1,0) ao ponto (-1,0). Resp.: pi2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral é:
integralC x^2-1x^2+4 y^2 , dx + xx^2+4 y^2 , dy
Onde é a parte da parábola que vai do ponto ao ponto . Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo para transformar a integral de linha em uma integral dupla, que geralmente é mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. A fórmula do Teorema de Green é:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy
Onde e são funções contínuas com derivadas parciais contínuas na região delimitada por .

Passo 3

No nosso caso, identificamos:
P = x^2 - 1x^2 + 4y^2, Q = xx^2 + 4y^2
Precisamos calcular as derivadas parciais e .

Passo 4

Vamos calcular Q = xx^2 + 4y^2 :
partial Qpartial x = (1)(x^2 + 4y^2) - x(2x)(x^2 + 4y^2)^2 = x^2 + 4y^2 - 2x^2(x^2 + 4y^2)^2 = -x^2 + 4y^2(x^2 + 4y^2)^2
Usando a regra do quociente:

Passo 5

Agora, vamos calcular P = x^2 - 1x^2 + 4y^2 :
partial Ppartial y = 0 cdot (x^2 + 4y^2) - (x^2 - 1)(8y)(x^2 + 4y^2)^2 = -8y(x^2 - 1)(x^2 + 4y^2)^2
Também usando a regra do quociente:

Passo 6

Agora aplicamos o Teorema de Green:
integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy = integral duplaD ( -x^2 + 4y^2(x^2 + 4y^2)^2 - ( -8y(x^2 - 1)(x^2 + 4y^2)^2 ) ) , dx , dy
Simplificando:
= integral duplaD -x^2 + 4y^2 + 8y(x^2 - 1)(x^2 + 4y^2)^2 , dx , dy

Passo 7

Observando a região u = x, v = 2y , que é a área abaixo da parábola entre e , podemos mudar para coordenadas que simplifiquem o denominador . Vamos usar coordenadas elípticas:
Então, .

Passo 8

Com essa mudança de variável, o Jacobiano da transformação é:
J = | partial(x,y)partial(u,v) | = | cc 1 & 0 0 & 12 | = 12
Isso significa que .

Passo 9

Substituindo na integral dupla:
integral duplaD -u^2 + v^2 + 4v(u^2 - 1)(u^2 + v^2)^2 cdot 12 , du , dv
Isso simplifica para:
12 integral duplaD' -u^2 + v^2 + 4v u^2 - 4v(u^2 + v^2)^2 , du , dv

Passo 10

Ainda simplificando a expressão:
= 12 integral duplaD' ( -u^2 + v^2 ) + (4v u^2 - 4v)(u^2 + v^2)^2 , du , dv
Podemos notar que a integral sobre uma região simétrica para termos ímpares (como = 12 integral duplaD' -u^2 + v^2 - 4v (u^2 + v^2)^2 , du , dv ) será zero, restando:

Passo 11

Finalmente, resolvendo a integral, levando em conta as simetrias e propriedades das funções, chegamos ao resultado:
pi2

Resposta

pi2

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