Utilizando o Teorema de Green, calcule a integral
em que é a parte da parábola do ponto ao ponto . Resp.: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral é:
Onde é a parte da parábola que vai do ponto ao ponto . Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo para transformar a integral de linha em uma integral dupla, que geralmente é mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. A fórmula do Teorema de Green é:
Onde e são funções contínuas com derivadas parciais contínuas na região delimitada por .

Passo 3

No nosso caso, identificamos:
Precisamos calcular as derivadas parciais e .

Passo 4

Vamos calcular :
Usando a regra do quociente:

Passo 5

Agora, vamos calcular :
Também usando a regra do quociente:

Passo 6

Agora aplicamos o Teorema de Green:
Simplificando:

Passo 7

Observando a região , que é a área abaixo da parábola entre e , podemos mudar para coordenadas que simplifiquem o denominador . Vamos usar coordenadas elípticas:
Então, .

Passo 8

Com essa mudança de variável, o Jacobiano da transformação é:
Isso significa que .

Passo 9

Substituindo na integral dupla:
Isso simplifica para:

Passo 10

Ainda simplificando a expressão:
Podemos notar que a integral sobre uma região simétrica para termos ímpares (como ) será zero, restando:

Passo 11

Finalmente, resolvendo a integral, levando em conta as simetrias e propriedades das funções, chegamos ao resultado:

Resposta

Exercícios relacionados

Calcule a integral
em que é a parte da cuva que liga o ponto ao ponto (1,1). Resp.: .
Utilizando o Teorema de Green, calcule a integral
em que é a parte da parábola de até . resp.: .
. Calcule a integral
em que é círculo . Resp.:
Determine uma representação paramétrica para as seguintes superfícies: O plano .