Calcule a integral
em que
é a parte da cuva
que liga o ponto
ao ponto (1,1). Resp.:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral ao longo de uma curva
, que é uma parte da curva
ligando os pontos
e
. A integral que precisamos resolver é:
Pra resolver isso, vamos usar o conteúdo de cálculo integral, especificamente sobre formas diferenciais exatas e integrais de linha. Vamos precisar entender como parameterizar a curva e verificar se a forma diferencial é exata para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a forma diferencial é exata. Uma forma diferencial
é exata se satisfizer a condição:
Vamos calcular essas derivadas parciais:
Calculando
:
Calculando
:
Como
, a forma diferencial é exata. Isso significa que existe uma função potencial
tal que:
Passo 3
Agora que sabemos que a forma é exata, podemos encontrar a função
integrando
em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
. Vamos integrar cada termo de
:
-
-
(usando integração por partes) -
(mais termos de integração por partes)
Juntando tudo:
Passo 4
Agora, para encontrar
, usamos a condição que a derivada parcial de
em relação a
deve ser igual a
:
Calculando
:
Sabemos que
, então:
Subtraindo
dos dois lados:
Integrando
:
Essa integral é um pouco trabalhosa, mas podemos reconhecer que ela contribui para a função potencial. No entanto, para o nosso cálculo da integral ao longo da curva, o termo
será cancelado quando subtrairmos
de
.
Passo 5
Agora, usamos a função potencial
para calcular a integral:
Calculando
:
Todos os termos envolvendo
se tornam:
E
:
Todos os termos envolvendo
se anulam, deixando apenas
. Mas como a curva começa em
,
.
Então:
Resposta
Exercícios relacionados
Utilizando o Teorema de Green, calcule a integral
em que
é a parte da parábola
de
até
. resp.:
.
Calcule o trabalho realizado pelo campo
para mover uma partícula ao longo da curva dada por
do ponto
até o ponto
. Resp.:
.
Utilizando o Teorema de Green, calcule a integral
em que
é a parte da parábola
do ponto
ao ponto
. Resp.:
.
. Calcule a integral
em que
é círculo
. Resp.: