Calcule a integral
integralC(e^y-x e^x-x^5 e^x) d x+(x+y^5) e^y d y
em que C é a parte da cuva y=x^200 que liga o ponto (0,0) ao ponto (1,1). Resp.: e-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral ao longo de uma curva integralC(e^y-x e^x-x^5 e^x) dx + (x+y^5) e^y dy , que é uma parte da curva ligando os pontos e . A integral que precisamos resolver é:
Pra resolver isso, vamos usar o conteúdo de cálculo integral, especificamente sobre formas diferenciais exatas e integrais de linha. Vamos precisar entender como parameterizar a curva e verificar se a forma diferencial é exata para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a forma diferencial é exata. Uma forma diferencial partial Mpartial y = partial Npartial x é exata se satisfizer a condição:
partial Mpartial y = e^y
Vamos calcular essas derivadas parciais:
  • partial Npartial x = e^y
  • dF = M dx + N dy
Calculando :
Calculando :
Como , a forma diferencial é exata. Isso significa que existe uma função potencial tal que:

Passo 3

Agora que sabemos que a forma é exata, podemos encontrar a função F(x, y) = integral M , dx + g(y) integrando F(x, y) = e^y x - x e^x + e^x - x^5 e^x + 5x^4 e^x - 20x^3 e^x + 60x^2 e^x - 120x e^x + 120e^x + g(y) em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de . Vamos integrar cada termo de :
  1. (usando integração por partes)
  2. (mais termos de integração por partes)
Juntando tudo:

Passo 4

Agora, para encontrar partial Fpartial y = N , usamos a condição que a derivada parcial de partial Fpartial y = e^y x + g'(y) em relação a e^y x + g'(y) = (x + y^5) e^y deve ser igual a g'(y) = y^5 e^y :
g(y) = integral y^5 e^y , dy
Calculando :
Sabemos que , então:
Subtraindo dos dois lados:
Integrando :
Essa integral é um pouco trabalhosa, mas podemos reconhecer que ela contribui para a função potencial. No entanto, para o nosso cálculo da integral ao longo da curva, o termo será cancelado quando subtrairmos de .

Passo 5

Agora, usamos a função potencial integralC M dx + N dy = F(1,1) - F(0,0) para calcular a integral:
e^1 cdot 1 - 1 cdot e^1 + e^1 - 1^5 e^1 + 5 cdot 1^4 e^1 - 20 cdot 1^3 e^1 + 60 cdot 1^2 e^1 - 120 cdot 1 cdot e^1 + 120 e^1 = e
Calculando F(1,1) - F(0,0) = e - 0 = e :
Todos os termos envolvendo se tornam:
E :
Todos os termos envolvendo se anulam, deixando apenas . Mas como a curva começa em , .
Então:

Resposta

e - 1

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