Calcule a integral
em que é a parte da cuva que liga o ponto ao ponto (1,1). Resp.: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral ao longo de uma curva , que é uma parte da curva ligando os pontos e . A integral que precisamos resolver é:
Pra resolver isso, vamos usar o conteúdo de cálculo integral, especificamente sobre formas diferenciais exatas e integrais de linha. Vamos precisar entender como parameterizar a curva e verificar se a forma diferencial é exata para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a forma diferencial é exata. Uma forma diferencial é exata se satisfizer a condição:
Vamos calcular essas derivadas parciais:
Calculando :
Calculando :
Como , a forma diferencial é exata. Isso significa que existe uma função potencial tal que:

Passo 3

Agora que sabemos que a forma é exata, podemos encontrar a função integrando em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de . Vamos integrar cada termo de :
  1. (usando integração por partes)
  2. (mais termos de integração por partes)
Juntando tudo:

Passo 4

Agora, para encontrar , usamos a condição que a derivada parcial de em relação a deve ser igual a :
Calculando :
Sabemos que , então:
Subtraindo dos dois lados:
Integrando :
Essa integral é um pouco trabalhosa, mas podemos reconhecer que ela contribui para a função potencial. No entanto, para o nosso cálculo da integral ao longo da curva, o termo será cancelado quando subtrairmos de .

Passo 5

Agora, usamos a função potencial para calcular a integral:
Calculando :
Todos os termos envolvendo se tornam:
E :
Todos os termos envolvendo se anulam, deixando apenas . Mas como a curva começa em , .
Então:

Resposta

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Utilizando o Teorema de Green, calcule a integral
em que é a parte da parábola de até . resp.: .
Calcule o trabalho realizado pelo campo para mover uma partícula ao longo da curva dada por
do ponto até o ponto . Resp.: .
Utilizando o Teorema de Green, calcule a integral
em que é a parte da parábola do ponto ao ponto . Resp.: .
. Calcule a integral
em que é círculo . Resp.: